К методичке В окне печати выберите «Сохранить как PDF». Ответы к задачам раскрыты.

кРепетито · методичка · 5–6 класс · ОГЭ · ЕГЭ

Десятичные дроби

Запись, сравнение, округление и четыре действия с десятичными дробями; перевод в обыкновенные и обратно.

Десятичная дробь — это обыкновенная дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее, записанная без черты. С ними удобно считать «столбиком», но есть два места, где ошибаются почти все: положение запятой при умножении и при делении.

Запись и разряды

$0{,}7 = \dfrac{7}{10}$, $\ 2{,}35 = 2\dfrac{35}{100}$, $\ 0{,}008 = \dfrac{8}{1000}$. После запятой идут разряды: десятые, сотые, тысячные. Сколько знаков после запятой — столько нулей в знаменателе.

Нули в конце дробной части можно дописывать и отбрасывать: $1{,}5 = 1{,}50 = 1{,}500$. Это помогает при сравнении и вычитании.

Сравнение

Сначала сравнивают целые части. Если они равны, уравнивают число знаков после запятой нулями и сравнивают дробные части как обычные числа: $0{,}7$ и $0{,}65$ → $0{,}70$ и $0{,}65$, значит $0{,}7 \gt 0{,}65$.

Сложение и вычитание

Записываем числа столбиком запятая под запятой, недостающие разряды заполняем нулями и считаем как с натуральными числами.

$$12{,}4 - 3{,}75 = 12{,}40 - 3{,}75 = 8{,}65$$

Умножение

  1. Перемножаем числа, не обращая внимания на запятые.
  2. Считаем, сколько всего знаков после запятой у обоих множителей.
  3. Отделяем в результате столько же знаков справа.

Пример 1.

Вычислите $2{,}4 \cdot 0{,}35$.

Решение. $24 \cdot 35 = 840$. Знаков после запятой: $1 + 2 = 3$. Отделяем три знака: $0{,}840 = 0{,}84$.

Ответ: 0,84.

Умножение на 10, 100, 1000 — перенос запятой вправо на 1, 2, 3 знака: $3{,}07 \cdot 100 = 307$. Умножение на 0,1, 0,01 — перенос влево: $45 \cdot 0{,}01 = 0{,}45$.

Деление

Чтобы разделить на десятичную дробь, переносим запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе. Делитель становится натуральным числом, частное не меняется.

Пример 2.

Вычислите $1{,}68 : 0{,}24$.

Решение. Переносим запятую на два знака: $168 : 24 = 7$.

Ответ: 7.

Пример 3.

Вычислите $0{,}6 : 0{,}015$.

Решение. В делителе три знака после запятой — переносим на три: $600 : 15 = 40$.

Ответ: 40.

Пример 4.

Вычислите $9{,}1 : 13$.

Решение. Делим как натуральные числа и ставим запятую в частном, когда «проходим» запятую в делимом: $91 : 13 = 7$, значит $9{,}1 : 13 = 0{,}7$.

Ответ: 0,7.

Перевод между видами дробей

Дроби, которые стоит помнить

ОбыкновеннаяДесятичнаяОбыкновеннаяДесятичная
$\frac{1}{2}$0,5$\frac{1}{5}$0,2
$\frac{1}{4}$0,25$\frac{3}{4}$0,75
$\frac{1}{8}$0,125$\frac{3}{8}$0,375
$\frac{1}{20}$0,05$\frac{1}{25}$0,04
$\frac{1}{3}$0,(3)$\frac{2}{3}$0,(6)

Обыкновенная дробь переводится в конечную десятичную, только если в разложении знаменателя (после сокращения) есть лишь двойки и пятёрки. Иначе получается периодическая дробь: $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)$. В таких случаях считайте в обыкновенных дробях.

Пример 5 (как в ОГЭ).

Найдите значение выражения $\dfrac{3{,}9}{1{,}5 \cdot 5{,}2}$.

Решение. Знаменатель: $1{,}5 \cdot 5{,}2 = 7{,}8$. Тогда $3{,}9 : 7{,}8 = 0{,}5$.

Ответ: 0,5.

Округление

Чтобы округлить до нужного разряда, смотрим на следующую цифру: если она 0–4, отбрасываем хвост; если 5–9, увеличиваем разряд на единицу. $3{,}1463 \approx 3{,}15$ (до сотых), $\approx 3{,}1$ (до десятых).

Ещё разборы

Пример 6 (смешанное выражение).

Вычислите $(6{,}4 - 2{,}9) \cdot 0{,}4 + 1{,}6$.

Решение. Скобка: $3{,}5$. Умножение: $3{,}5 \cdot 0{,}4 = 1{,}4$. Сложение: $1{,}4 + 1{,}6 = 3$.

Ответ: 3.

Пример 7 (деление «до конца»).

Вычислите $7 : 8$.

Решение. Дописываем нули после запятой: $7{,}000 : 8$. $70 : 8 = 8$ (остаток 6), $60 : 8 = 7$ (остаток 4), $40 : 8 = 5$. Частное $0{,}875$.

Ответ: 0,875.

Пример 8 (как в ОГЭ №6).

Найдите значение $\dfrac{1}{\frac{1}{20} + \frac{1}{5}}$.

Решение. $\frac{1}{20} = 0{,}05$, $\frac{1}{5} = 0{,}2$, сумма $0{,}25$. $1 : 0{,}25 = 4$.

Ответ: 4.

Периодические дроби

Если знаменатель несократимой дроби содержит простые множители, кроме 2 и 5, получается бесконечная периодическая дробь: $\frac{2}{3} = 0{,}666\ldots = 0{,}(6)$, $\frac{5}{11} = 0{,}4545\ldots = 0{,}(45)$. Обратный перевод: $0{,}(7) = \frac{7}{9}$, $0{,}(27) = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ — период делится на столько девяток, сколько в нём цифр.

Коротко о главном

Частые вопросы

Почему $0{,}1 + 0{,}2$ на калькуляторе иногда даёт $0{,}30000000000000004$? Компьютер хранит числа в двоичной системе, а $0{,}1$ в ней — бесконечная периодическая дробь, как $\frac{1}{3}$ в десятичной. На уроке и на экзамене считайте точно: $0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}3$.

Сколько знаков оставлять в ответе ОГЭ? Столько, сколько получилось точно. Если ответ — бесконечная дробь, задача, скорее всего, решена с ошибкой: ответы кратких заданий записываются целым числом или конечной десятичной дробью.

Задача посложнее.

Вычислите $\dfrac{0{,}48 \cdot 2{,}5 - 0{,}2}{0{,}05}$.

Решение. $0{,}48 \cdot 2{,}5 = 1{,}2$ (удобно: $0{,}48 \cdot 10 : 4$). $1{,}2 - 0{,}2 = 1$. $1 : 0{,}05 = 20$.

Ответ: 20.

Типичные ошибки
  • При умножении выравнивать запятые, как при сложении. При умножении запятые не выравнивают — считают знаки.
  • При делении переносить запятую только в делителе.
  • Сравнивать по длине: $0{,}125 \lt 0{,}2$, хотя «125 больше 2».
  • Терять ноль целых: $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$, а не $2{,}5$.

Задачи для самопроверки

  1. Сравните $3{,}09$ и $3{,}1$.
    Ответ

    $3{,}09 \lt 3{,}10$.

  2. Вычислите $7 - 2{,}38$.
    Ответ

    4,62.

  3. Вычислите $0{,}25 \cdot 0{,}8$.
    Ответ

    0,2.

  4. Вычислите $2{,}7 : 0{,}09$.
    Ответ

    $270 : 9 = 30$.

  5. Вычислите $\dfrac{2{,}8 \cdot 1{,}5}{0{,}7}$.
    Ответ

    $4{,}2 : 0{,}7 = 6$.

  6. Переведите $\frac{7}{8}$ в десятичную дробь.
    Ответ

    0,875.

  7. Округлите $12{,}4962$ до сотых.
    Ответ

    12,50.

Задачи по теме на сайте