К методичке В окне печати выберите «Сохранить как PDF». Ответы к задачам раскрыты.

кРепетито · методичка · 8–9 класс · ОГЭ · ЕГЭ

Квадратичная функция и парабола

Как построить параболу по формуле, найти вершину, нули и промежутки знакопостоянства; чтение коэффициентов по графику.

Функция $y = ax^2 + bx + c$ при $a \ne 0$ называется квадратичной, её график — парабола. В ОГЭ нужно соотносить параболы с формулами (№11) и строить графики во второй части (№22). Всё держится на трёх вещах: направлении ветвей, вершине и нулях.

Что говорят коэффициенты

Чтение формулы

ПризнакЧто даёт
знак $a$$a \gt 0$ — ветви вверх, $a \lt 0$ — вниз; чем больше $|a|$, тем «уже» парабола
$c$точка пересечения с осью $Oy$: $(0;\ c)$
вершина$x_0 = -\dfrac{b}{2a}$, $\ y_0 = f(x_0)$
$D = b^2 - 4ac$$D \gt 0$ — два нуля, $D = 0$ — касается оси, $D \lt 0$ — не пересекает ось
ось симметриипрямая $x = x_0$

Знак $b$ тоже читается по графику: так как $x_0 = -\frac{b}{2a}$, при $a \gt 0$ вершина справа от оси $Oy$ означает $b \lt 0$.

План построения

  1. Направление ветвей по знаку $a$.
  2. Вершина $(x_0;\ y_0)$ и ось симметрии $x = x_0$.
  3. Нули функции (если есть) и точка $(0;\ c)$.
  4. Ещё пара точек слева и справа от вершины, симметричные относительно оси.
Парабола xy0 (2; −1)3
$y = x^2 - 4x + 3$: ветви вверх, вершина $(2;\ -1)$, нули 1 и 3, пересечение с $Oy$ в точке 3. Клетка — одна единица.

Пример 1.

Найдите вершину и нули параболы $y = x^2 - 4x + 3$.

Решение. $x_0 = \frac{4}{2} = 2$, $y_0 = 4 - 8 + 3 = -1$. Нули: $x^2 - 4x + 3 = 0$, $x = 1$, $x = 3$ (сумма коэффициентов равна нулю).

Ответ: вершина $(2;\ -1)$, нули 1 и 3.

Пример 2.

Найдите наибольшее значение функции $y = -2x^2 + 8x - 5$.

Решение. $a \lt 0$, ветви вниз — наибольшее значение в вершине. $x_0 = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = 2$, $y_0 = -8 + 16 - 5 = 3$.

Ответ: 3.

Пример 3.

Найдите промежутки, где $y = x^2 - 4x + 3$ отрицательна, и промежуток возрастания.

Решение. Отрицательна между нулями: $(1;\ 3)$. Ветви вверх, поэтому функция возрастает правее вершины: на $[2;\ +\infty)$.

Ответ: $y \lt 0$ на $(1;\ 3)$; возрастает на $[2;\ +\infty)$.

Выделение полного квадрата и сдвиги

$y = a(x - x_0)^2 + y_0$ — та же парабола $y = ax^2$, сдвинутая на $x_0$ вправо и на $y_0$ вверх. Например, $x^2 - 6x + 11 = (x - 3)^2 + 2$: вершина $(3;\ 2)$, а так как $(x - 3)^2 \ge 0$, функция не меньше 2.

Пример 4.

Парабола проходит через точки $(0;\ 5)$, $(1;\ 2)$ и $(2;\ 1)$. Найдите её формулу.

Решение. Из $(0;\ 5)$: $c = 5$. Из двух других: $a + b + 5 = 2$, $4a + 2b + 5 = 1$, то есть $a + b = -3$ и $2a + b = -2$. Вычитая, $a = 1$, $b = -4$.

Ответ: $y = x^2 - 4x + 5$.

Ещё разборы

Пример 5 (пересечение с прямой).

Найдите точки пересечения параболы $y = x^2 - 2x - 3$ и прямой $y = x + 1$.

Решение. $x^2 - 2x - 3 = x + 1$, $x^2 - 3x - 4 = 0$, $x = 4$ или $x = -1$. Тогда $y = 5$ или $y = 0$.

Ответ: $(4;\ 5)$ и $(-1;\ 0)$.

Пример 6 (параметр по графику, ОГЭ №22).

При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с параболой $y = x^2 - 4x + 3$ ровно одну общую точку?

Решение. Горизонтальная прямая касается параболы только в вершине. Вершина $(2;\ -1)$, значит $m = -1$.

Ответ: $m = -1$.

Пример 7 (практическая задача).

Мяч брошен вверх, его высота меняется по закону $h(t) = 20t - 5t^2$ (м). Какой наибольшей высоты он достигнет и когда упадёт?

Решение. Ветви вниз, вершина при $t = \frac{20}{10} = 2$ с: $h = 40 - 20 = 20$ м. Упадёт, когда $h = 0$: $5t(4 - t) = 0$, $t = 4$ с.

Ответ: 20 м; через 4 с.

Коротко о главном

Типичные ошибки
  • Теряют минус в формуле вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
  • Путают сдвиг: $(x + 3)^2$ — сдвиг влево на 3.
  • Строят параболу только по вершине, без контрольных точек, и получают неверную «ширину».
  • Наибольшее значение ищут у параболы с ветвями вверх — его нет.

Задачи для самопроверки

  1. Найдите вершину параболы $y = 3x^2 + 12x - 1$.
    Ответ

    $x_0 = -2$, $y_0 = 12 - 24 - 1 = -13$: $(-2;\ -13)$.

  2. Найдите наименьшее значение $y = x^2 - 10x + 30$.
    Ответ

    $(x - 5)^2 + 5$, наименьшее значение 5.

  3. При каких $x$ функция $y = -x^2 + 2x + 8$ положительна?
    Ответ

    Нули $-2$ и $4$, ветви вниз: $(-2;\ 4)$.

  4. Парабола $y = ax^2 + bx + c$ имеет ветви вниз и вершину левее оси $Oy$. Каковы знаки $a$ и $b$?
    Ответ

    $a \lt 0$; $x_0 = -\frac{b}{2a} \lt 0$ даёт $b \lt 0$.

  5. Сколько общих точек у параболы $y = x^2 + 2x + 3$ с осью $Ox$?
    Ответ

    Ни одной: $D = 4 - 12 \lt 0$.

  6. Запишите формулу параболы $y = x^2$, сдвинутой на 1 влево и на 4 вниз.
    Ответ

    $y = (x + 1)^2 - 4 = x^2 + 2x - 3$.

Задачи по теме на сайте