К методичке В окне печати выберите «Сохранить как PDF». Ответы к задачам раскрыты.

кРепетито · методичка · 8–9 класс · ОГЭ · ЕГЭ

Квадратные уравнения и теорема Виета

Дискриминант, неполные уравнения, теорема Виета и обратная к ней, разложение трёхчлена и дробно-рациональные уравнения.

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \ne 0$. Оно встречается в ОГЭ и ЕГЭ десятки раз: само по себе, внутри систем, после замены переменной, в текстовых задачах. Поэтому решать его нужно быстро и без потери корней.

Неполные квадратные уравнения

Если $b = 0$ или $c = 0$, дискриминант не нужен.

ВидКак решатьПример
$ax^2 + bx = 0$вынести $x$: $x(ax + b) = 0$$3x^2 - 12x = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = 4$
$ax^2 + c = 0$$x^2 = -\frac{c}{a}$; если правая часть отрицательна, корней нет$2x^2 - 18 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$
$ax^2 = 0$единственный корень$x = 0$

Дискриминант

$$D = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

$D \gt 0$ — два корня, $D = 0$ — один корень $x = -\frac{b}{2a}$, $D \lt 0$ — действительных корней нет.

Если $b$ чётное, $b = 2k$, удобнее формула через «четверть дискриминанта»: $D_1 = k^2 - ac$, $x = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$.

Пример 1.

Решите уравнение $2x^2 - 7x + 3 = 0$.

Решение. $D = 49 - 24 = 25$. $x = \frac{7 \pm 5}{4}$: $x_1 = 3$, $x_2 = \frac{1}{2}$.

Ответ: 0,5; 3.

Пример 2.

Решите уравнение $x^2 - 8x + 13 = 0$.

Решение. $b = -8$ чётное, $k = -4$: $D_1 = 16 - 13 = 3$. $x = 4 \pm \sqrt{3}$.

Ответ: $4 \pm \sqrt{3}$.

Пример 3.

Решите уравнение $9x^2 + 6x + 1 = 0$.

Решение. Это полный квадрат $(3x + 1)^2 = 0$, $x = -\frac{1}{3}$. Через дискриминант: $D = 36 - 36 = 0$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

Теорема Виета

Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$, то $x_1 + x_2 = -p$, $\ x_1 \cdot x_2 = q$.

Для $ax^2 + bx + c = 0$: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $\ x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.

Обратная теорема позволяет угадывать корни приведённого уравнения: ищем два числа с нужными произведением и суммой.

Пример 4.

Решите уравнение $x^2 - 5x - 14 = 0$.

Решение. Произведение $-14$, сумма $5$. Пары множителей $-14$: $(-1; 14)$, $(1; -14)$, $(-2; 7)$, $(2; -7)$. Сумма 5 у пары $-2$ и $7$.

Ответ: −2; 7.

Быстрая проверка. Если $a + b + c = 0$, то один корень равен 1, второй $\frac{c}{a}$. Если $a - b + c = 0$, то корни $-1$ и $-\frac{c}{a}$. Пример: $5x^2 - 3x - 2 = 0$, сумма коэффициентов 0, корни $1$ и $-\frac{2}{5}$.

Разложение квадратного трёхчлена

Если $x_1$, $x_2$ — корни трёхчлена, то $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Это нужно для сокращения дробей и метода интервалов.

Пример 5.

Сократите дробь $\dfrac{2x^2 - 7x + 3}{x^2 - 9}$.

Решение. Корни числителя 3 и $\frac{1}{2}$ (пример 1), поэтому $2x^2 - 7x + 3 = 2(x - 3)(x - \frac{1}{2}) = (x - 3)(2x - 1)$. Знаменатель $(x - 3)(x + 3)$. Сокращаем: $\dfrac{2x - 1}{x + 3}$.

Ответ: $\dfrac{2x - 1}{x + 3}$.

Дробно-рациональные уравнения

Пример 6.

Решите уравнение $\dfrac{x^2 - x}{x - 3} = \dfrac{6}{x - 3}$.

Решение. ОДЗ: $x \ne 3$. Приравниваем числители: $x^2 - x - 6 = 0$, $x = 3$ или $x = -2$. Корень $x = 3$ не входит в ОДЗ.

Ответ: −2.

Биквадратные уравнения и замена

Уравнение $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ заменой $t = x^2 \ge 0$ сводится к $t^2 - 5t + 4 = 0$: $t = 1$ или $t = 4$. Обратно: $x = \pm 1$, $x = \pm 2$ — четыре корня.

Ещё разборы

Пример 7 (текстовая задача).

Площадь прямоугольника 60 см², одна сторона на 4 см больше другой. Найдите стороны.

Решение. $x(x + 4) = 60$, $x^2 + 4x - 60 = 0$. По Виета корни 6 и −10; длина положительна, $x = 6$. Стороны 6 и 10 см.

Ответ: 6 см и 10 см.

Пример 8 (выражение от корней без их нахождения).

$x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 5x + 3 = 0$. Найдите $x_1^2 + x_2^2$.

Решение. По Виета $x_1 + x_2 = 5$, $x_1x_2 = 3$. $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 25 - 6 = 19$.

Ответ: 19.

Пример 9 (параметр).

При каких $m$ уравнение $x^2 + 6x + m = 0$ имеет два различных корня?

Решение. $D_1 = 9 - m \gt 0$, то есть $m \lt 9$.

Ответ: $m \lt 9$.

Коротко о главном

Типичные ошибки
  • Ошибки в знаке $b$: для $x^2 - 6x + \ldots$ значение $b = -6$, и $-b = 6$.
  • Делить на $2$ вместо $2a$ в формуле корней.
  • Делить уравнение $x^2 = 5x$ на $x$ и терять корень $x = 0$.
  • Не проверять ОДЗ в дробных уравнениях.
  • Применять Виета, не убедившись, что корни существуют ($D \ge 0$).

Задачи для самопроверки

  1. Решите уравнение $x^2 + 7x + 10 = 0$.
    Ответ

    $-5$; $-2$.

  2. Решите уравнение $3x^2 + 5x - 2 = 0$.
    Ответ

    $D = 25 + 24 = 49$, $x = \frac{-5 \pm 7}{6}$: $\frac{1}{3}$ и $-2$.

  3. Решите уравнение $5x^2 - 20 = 0$.
    Ответ

    $\pm 2$.

  4. Сколько корней у уравнения $x^2 - 4x + 7 = 0$?
    Ответ

    Ни одного: $D_1 = 4 - 7 \lt 0$.

  5. Один корень уравнения $x^2 + px - 12 = 0$ равен 4. Найдите $p$ и второй корень.
    Ответ

    $x_2 = -12 : 4 = -3$, $p = -(4 - 3) = -1$.

  6. Решите уравнение $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.
    Ответ

    $\pm 1$, $\pm 3$.

  7. Решите уравнение $\dfrac{x + 2}{x} = \dfrac{6}{x - 1}$.
    Ответ

    $(x + 2)(x - 1) = 6x$, $x^2 - 5x - 2 = 0$, $x = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$ (оба не равны 0 и 1).

Задачи по теме на сайте