К методичке В окне печати выберите «Сохранить как PDF». Ответы к задачам раскрыты.

кРепетито · методичка · 7–9 класс · ОГЭ · ЕГЭ

Линейная функция

График $y = kx + b$, смысл коэффициентов, как найти $k$ и $b$ по графику, параллельные и пересекающиеся прямые.

Линейная функция задаётся формулой $y = kx + b$, её график — прямая. Это первая функция школьного курса, и через неё вводятся все понятия: область определения, возрастание, точки пересечения. В ОГЭ и ЕГЭ её коэффициенты нужно уметь читать прямо с картинки.

Смысл коэффициентов

$k$ — угловой коэффициент: на сколько изменяется $y$, когда $x$ увеличивается на 1. При $k \gt 0$ функция возрастает, при $k \lt 0$ убывает, при $k = 0$ прямая горизонтальна.

$b$ — ордината точки пересечения с осью $Oy$: при $x = 0$ получаем $y = b$.

Две прямые xy01 y = 2x − 1 y = −0,5x + 2
Прямая $y = 2x - 1$ возрастает ($k = 2 \gt 0$), прямая $y = -0{,}5x + 2$ убывает ($k \lt 0$). Клетка — одна единица.

Как найти $k$ и $b$ по графику

  1. Найдите $b$: в какой точке прямая пересекает ось $Oy$.
  2. Найдите на прямой две точки с целыми координатами.
  3. Посчитайте $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — «на сколько поднялись, делённое на сколько сдвинулись вправо».
  4. Проверьте знак: прямая идёт вверх слева направо — $k \gt 0$.

Пример 1.

Прямая проходит через точки $A(1;\ 3)$ и $B(4;\ 9)$. Задайте её формулой.

Решение. $k = \frac{9 - 3}{4 - 1} = 2$. Подставляем точку $A$: $3 = 2 \cdot 1 + b$, $b = 1$. Итак, $y = 2x + 1$. Проверка точкой $B$: $2 \cdot 4 + 1 = 9$.

Ответ: $y = 2x + 1$.

Взаимное расположение прямых

Две прямые $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$

УсловиеРасположение
$k_1 = k_2$, $b_1 \ne b_2$параллельны
$k_1 = k_2$, $b_1 = b_2$совпадают
$k_1 \ne k_2$пересекаются в одной точке
$k_1 \cdot k_2 = -1$перпендикулярны

Пример 2.

Найдите координаты точки пересечения прямых $y = 3x - 4$ и $y = -x + 8$.

Решение. В точке пересечения $y$ одинаковы: $3x - 4 = -x + 8$, $4x = 12$, $x = 3$, $y = 5$.

Ответ: $(3;\ 5)$.

Пример 3.

Найдите точки пересечения графика $y = -2x + 6$ с осями координат.

Решение. С осью $Oy$: $x = 0$, $y = 6$. С осью $Ox$: $y = 0$, $-2x + 6 = 0$, $x = 3$.

Ответ: $(0;\ 6)$ и $(3;\ 0)$.

Пример 4.

Прямая параллельна прямой $y = -4x + 1$ и проходит через точку $(2;\ -3)$. Найдите $b$.

Решение. Параллельные прямые имеют одинаковый $k = -4$. $-3 = -4 \cdot 2 + b$, $b = 5$.

Ответ: $b = 5$.

Прямая пропорциональность

Частный случай $b = 0$: $y = kx$. Её график всегда проходит через начало координат. Прямая $y = b$ (при $k = 0$) параллельна оси $Ox$, а уравнение $x = a$ задаёт вертикальную прямую — это уже не функция от $x$.

Ещё разборы

Пример 5 (знаки $k$ и $b$ по графику).

Прямая убывает и пересекает ось $Oy$ ниже начала координат. Каковы знаки $k$ и $b$?

Решение. Убывает — $k \lt 0$. Пересекает $Oy$ ниже нуля — $b \lt 0$.

Ответ: $k \lt 0$, $b \lt 0$.

Пример 6 (практическая задача).

Такси берёт 150 рублей за посадку и 30 рублей за каждый километр. Запишите стоимость поездки как функцию от расстояния и найдите, на сколько километров хватит 900 рублей.

Решение. $y = 30x + 150$. Решаем $30x + 150 = 900$: $30x = 750$, $x = 25$.

Ответ: $y = 30x + 150$; 25 км.

Пример 7 (кусочная функция, ОГЭ №22).

Постройте график $y = |x|$ и найдите, при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно две общие точки.

Решение. При $x \ge 0$ график совпадает с прямой $y = x$, при $x \lt 0$ — с $y = -x$: получается «галочка» с вершиной в начале координат. Горизонтальная прямая $y = m$ пересекает её в двух точках при $m \gt 0$, в одной при $m = 0$, ни в одной при $m \lt 0$.

Ответ: $m \gt 0$.

Коротко о главном

Типичные ошибки
  • Считать $k$ по клеткам, не глядя на масштаб осей.
  • Путать $b$ с точкой пересечения с осью $Ox$.
  • Определять знак $k$ «на глаз» неверно, если оси повёрнуты или сдвинуты. Проверяйте по двум точкам.
  • Делить на разность в обратном порядке: $\frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}$ даёт неверный знак.

Задачи для самопроверки

  1. Возрастает или убывает функция $y = 7 - 3x$?
    Ответ

    Убывает: $k = -3 \lt 0$.

  2. Прямая проходит через $(0;\ -2)$ и $(3;\ 4)$. Найдите $k$ и $b$.
    Ответ

    $k = 2$, $b = -2$.

  3. Найдите точку пересечения прямых $y = 2x + 1$ и $y = 5x - 8$.
    Ответ

    $(3;\ 7)$.

  4. При каком $k$ прямая $y = kx + 3$ проходит через точку $(-2;\ 11)$?
    Ответ

    $11 = -2k + 3$, $k = -4$.

  5. Принадлежит ли точка $(4;\ -5)$ графику $y = -1{,}5x + 1$?
    Ответ

    Да: $-6 + 1 = -5$.

  6. Найдите площадь треугольника, который прямая $y = -2x + 6$ отсекает от координатного угла.
    Ответ

    Катеты 3 и 6, площадь 9.

Задачи по теме на сайте