К методичке В окне печати выберите «Сохранить как PDF». Ответы к задачам раскрыты.

кРепетито · методичка · 10–11 класс · ЕГЭ

Логарифмы

Определение логарифма, свойства, переход к новому основанию, логарифмические уравнения и неравенства с ОДЗ.

Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить число. Логарифмы встречаются в ЕГЭ в вычислениях, в простейших уравнениях и в неравенствах второй части, и почти всегда ошибаются не в свойствах, а в области допустимых значений.

Определение

$\log_a b = c \iff a^c = b$, где $a \gt 0$, $a \ne 1$, $b \gt 0$.

Например, $\log_2 32 = 5$, потому что $2^5 = 32$; $\log_3 \frac{1}{9} = -2$; $\log_5 1 = 0$.

Особые обозначения: $\lg b = \log_{10} b$, $\ln b = \log_e b$. Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$.

Свойства

Свойства логарифмов ($a, b, c \gt 0$, $a \ne 1$)

СвойствоФормула
логарифм произведения$\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$
логарифм частного$\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$
степень числа$\log_a b^k = k\log_a b$
степень основания$\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$
новое основание$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
перестановка$\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$
тождество$a^{\log_a b} = b$, $\ \log_a a = 1$, $\ \log_a 1 = 0$

Пример 1.

Вычислите $\log_6 4 + \log_6 9$.

Решение. $\log_6 36 = 2$.

Ответ: 2.

Пример 2.

Вычислите $\dfrac{\log_3 64}{\log_3 4}$.

Решение. По формуле перехода это $\log_4 64 = 3$.

Ответ: 3.

Пример 3.

Вычислите $5^{2 + \log_5 3}$.

Решение. $5^2 \cdot 5^{\log_5 3} = 25 \cdot 3 = 75$.

Ответ: 75.

Пример 4.

Вычислите $\log_{\sqrt{2}} 8$.

Решение. $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$, $8 = 2^3$: $\log_{2^{1/2}} 2^3 = \frac{3}{1/2} = 6$. Проверка: $(\sqrt{2})^6 = 8$.

Ответ: 6.

Логарифмические уравнения

  1. Запишите ОДЗ: аргументы положительны, основание положительно и не равно 1.
  2. Приведите уравнение к виду $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ или $\log_a f(x) = c$.
  3. Уберите логарифмы: $f(x) = g(x)$ или $f(x) = a^c$.
  4. Проверьте корни по ОДЗ.

Пример 5.

Решите уравнение $\log_2(x - 3) + \log_2(x - 2) = 1$.

Решение. ОДЗ: $x \gt 3$. $\log_2((x - 3)(x - 2)) = 1$, $(x - 3)(x - 2) = 2$, $x^2 - 5x + 4 = 0$, $x = 1$ или $x = 4$. В ОДЗ только $x = 4$.

Ответ: 4.

Пример 6 (замена).

Решите уравнение $\log_3^2 x - 3\log_3 x + 2 = 0$.

Решение. ОДЗ $x \gt 0$. Пусть $t = \log_3 x$: $t^2 - 3t + 2 = 0$, $t = 1$ или $t = 2$. Тогда $x = 3$ или $x = 9$.

Ответ: 3; 9.

Логарифмические неравенства

Если $a \gt 1$, функция $\log_a x$ возрастает: $\log_a f \gt \log_a g \iff f \gt g \gt 0$.

Если $0 \lt a \lt 1$, функция убывает и знак меняется: $\log_a f \gt \log_a g \iff 0 \lt f \lt g$.

Пример 7.

Решите неравенство $\log_{0{,}5}(2x - 1) \ge -2$.

Решение. $-2 = \log_{0{,}5} 4$. Основание меньше 1, знак меняется: $0 \lt 2x - 1 \le 4$, то есть $\frac{1}{2} \lt x \le \frac{5}{2}$.

Ответ: $(0{,}5;\ 2{,}5]$.

Ещё разборы

Пример 8 (переменное основание).

Решите уравнение $\log_x 16 = 2$.

Решение. ОДЗ: $x \gt 0$, $x \ne 1$. $x^2 = 16$, $x = \pm 4$. Подходит только $x = 4$.

Ответ: 4.

Пример 9 (сравнение логарифмов).

Что больше: $\log_2 3$ или $\log_3 2$?

Решение. $\log_2 3 \gt \log_2 2 = 1$, а $\log_3 2 \lt \log_3 3 = 1$. Значит, $\log_2 3 \gt \log_3 2$.

Ответ: $\log_2 3$.

Пример 10 (прикладная задача, ЕГЭ №9).

Громкость звука в децибелах $L = 10 \lg \frac{I}{I_0}$. Во сколько раз интенсивность звука 80 дБ больше, чем звука 50 дБ?

Решение. $80 - 50 = 10 \lg \frac{I_1}{I_2}$, $\lg \frac{I_1}{I_2} = 3$, $\frac{I_1}{I_2} = 10^3 = 1000$.

Ответ: в 1000 раз.

Коротко о главном

Частый вопрос

Зачем вообще нужны логарифмы? Они превращают умножение в сложение и степени в множители. Поэтому ими описывают величины, которые меняются «в разы»: громкость в децибелах, кислотность (pH), магнитуду землетрясений. В задачах ЕГЭ №9 такие формулы встречаются регулярно.

Типичные ошибки
  • $\log_a(b + c) = \log_a b + \log_a c$ — такого свойства нет.
  • Не проверять ОДЗ: после потенцирования появляются посторонние корни.
  • Не менять знак неравенства при основании от 0 до 1.
  • $\log_a b^2 = 2\log_a b$ при $b \lt 0$ неверно; правильно $2\log_a|b|$.

Задачи для самопроверки

  1. Вычислите $\log_4 128$.
    Ответ

    $\frac{7}{2} = 3{,}5$.

  2. Вычислите $\lg 25 + \lg 4$.
    Ответ

    2.

  3. Вычислите $\log_2 \log_3 81$.
    Ответ

    $\log_2 4 = 2$.

  4. Вычислите $9^{\log_3 5}$.
    Ответ

    $3^{2\log_3 5} = 25$.

  5. Решите уравнение $\log_5(3x + 1) = 2$.
    Ответ

    $3x + 1 = 25$, $x = 8$.

  6. Решите уравнение $\log_3(x + 1) = \log_3(2x - 5)$.
    Ответ

    $x = 6$ (проверка ОДЗ: $7 \gt 0$, $7 \gt 0$).

  7. Решите неравенство $\log_2(x - 1) \lt 3$.
    Ответ

    $0 \lt x - 1 \lt 8$: $(1;\ 9)$.

Задачи по теме на сайте