К методичке В окне печати выберите «Сохранить как PDF». Ответы к задачам раскрыты.

кРепетито · методичка · 8–11 класс · ОГЭ · ЕГЭ

Неравенства и метод интервалов

Линейные и квадратные неравенства, системы неравенств и метод интервалов для рациональных неравенств.

Решить неравенство — найти все значения переменной, при которых оно верно. Ответ почти всегда — промежуток или объединение промежутков. Ключевое правило: при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется.

Свойства и линейные неравенства

  • К обеим частям можно прибавить одно и то же число.
  • Обе части можно умножить на положительное число, знак сохраняется.
  • При умножении на отрицательное число знак меняется на противоположный.

Пример 1.

Решите неравенство $3 - 2x \ge 5x - 11$.

Решение. $-2x - 5x \ge -11 - 3$, $-7x \ge -14$. Делим на $-7$ и меняем знак: $x \le 2$.

Ответ: $(-\infty;\ 2]$.

Запись промежутков

НеравенствоПромежутокТочка на рисунке
$x \gt a$$(a;\ +\infty)$выколотая
$x \ge a$$[a;\ +\infty)$закрашенная
$a \lt x \le b$$(a;\ b]$$a$ выколота, $b$ закрашена
$x \lt a$ или $x \gt b$$(-\infty;\ a) \cup (b;\ +\infty)$обе выколоты

Системы и совокупности

Система (фигурная скобка) — нужно, чтобы выполнялись все неравенства: берём пересечение. Совокупность (квадратная скобка, «или») — хотя бы одно: берём объединение.

Пример 2.

Решите систему $\begin{cases} 2x - 1 \gt 3, \\ 4 - x \ge -2. \end{cases}$

Решение. Первое: $x \gt 2$. Второе: $x \le 6$. Пересечение: $2 \lt x \le 6$.

Ответ: $(2;\ 6]$.

Квадратные неравенства

Решаем через параболу: находим корни, смотрим на направление ветвей и выбираем нужные участки.

Знаки квадратного трёхчлена −13 +−+ x
$x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$: положителен вне корней, отрицателен между ними.

Пример 3.

Решите неравенство $x^2 - 2x - 3 \lt 0$.

Решение. Корни $-1$ и $3$, ветви вверх. Трёхчлен отрицателен между корнями.

Ответ: $(-1;\ 3)$.

Пример 4.

Решите неравенство $-x^2 + 4x \le 0$.

Решение. Умножим на $-1$: $x^2 - 4x \ge 0$, $x(x - 4) \ge 0$. Корни 0 и 4, ветви вверх, берём участки вне корней вместе с корнями.

Ответ: $(-\infty;\ 0] \cup [4;\ +\infty)$.

Пример 5.

Решите неравенство $x^2 + 2x + 5 \gt 0$.

Решение. $D = 4 - 20 \lt 0$, корней нет, ветви вверх — парабола целиком над осью. Неравенство верно при всех $x$.

Ответ: $(-\infty;\ +\infty)$.

Метод интервалов

  1. Перенесите всё в одну часть, чтобы справа был 0. Разложите числитель и знаменатель на множители.
  2. Отметьте на прямой нули числителя (закрашенные, если неравенство нестрогое) и нули знаменателя (всегда выколотые).
  3. Определите знак на крайнем правом интервале, подставив большое число.
  4. Расставьте знаки справа налево: при переходе через корень нечётной кратности знак меняется, чётной — сохраняется.
  5. Выберите интервалы с нужным знаком.

Пример 6.

Решите неравенство $\dfrac{(x - 2)(x + 5)}{x - 7} \ge 0$.

Решение. Точки: $-5$ и $2$ закрашенные, $7$ выколотая. При $x = 100$ все скобки положительны — справа «$+$». Дальше знаки чередуются: $(7; +\infty)$ «$+$», $(2; 7)$ «$-$», $(-5; 2)$ «$+$», $(-\infty; -5)$ «$-$».

Ответ: $[-5;\ 2] \cup (7;\ +\infty)$.

Пример 7 (чётная кратность).

Решите неравенство $(x - 1)^2(x + 3) \lt 0$.

Решение. Точки $-3$ и $1$ (кратность 2). Справа «$+$»; через 1 знак не меняется: на $(-3; 1)$ тоже «$+$»; через $-3$ меняется: слева «$-$». Сама точка 1 даёт ноль и не подходит к строгому неравенству.

Ответ: $(-\infty;\ -3)$.

Ещё разборы

Пример 8 (двойное неравенство).

Решите $-3 \lt 2x + 1 \le 7$.

Решение. Вычтем 1 из всех частей: $-4 \lt 2x \le 6$. Разделим на 2: $-2 \lt x \le 3$.

Ответ: $(-2;\ 3]$.

Пример 9 (неравенство с дробями).

Решите $\dfrac{3}{x - 2} \ge 1$.

Решение. Переносим и приводим к общему знаменателю: $\frac{3 - (x - 2)}{x - 2} \ge 0$, $\frac{5 - x}{x - 2} \ge 0$, то есть $\frac{x - 5}{x - 2} \le 0$. Точки: 2 (выколота), 5 (закрашена). Отрицательно между ними.

Ответ: $(2;\ 5]$.

Пример 10 (область определения).

Найдите область определения $y = \sqrt{12 - x - x^2}$.

Решение. $12 - x - x^2 \ge 0 \iff x^2 + x - 12 \le 0 \iff (x + 4)(x - 3) \le 0$.

Ответ: $[-4;\ 3]$.

Коротко о главном

Типичные ошибки
  • Не менять знак при делении на отрицательное число.
  • Умножать неравенство на знаменатель с переменной: его знак неизвестен.
  • Закрашивать нули знаменателя в нестрогом неравенстве.
  • Механически чередовать знаки, не учитывая чётную кратность.
  • Писать квадратную скобку у бесконечности.

Задачи для самопроверки

  1. Решите неравенство $5(x - 1) \gt 2x + 7$.
    Ответ

    $x \gt 4$, то есть $(4;\ +\infty)$.

  2. Решите систему $\begin{cases} x + 3 \ge 0, \\ 2x \lt 8. \end{cases}$
    Ответ

    $[-3;\ 4)$.

  3. Решите неравенство $x^2 - 9 \le 0$.
    Ответ

    $[-3;\ 3]$.

  4. Решите неравенство $x^2 + x - 6 \gt 0$.
    Ответ

    $(-\infty;\ -3) \cup (2;\ +\infty)$.

  5. Решите неравенство $\dfrac{x + 4}{x - 1} \le 0$.
    Ответ

    $[-4;\ 1)$.

  6. Решите неравенство $\dfrac{x^2 - 4x}{x + 2} \lt 0$.
    Ответ

    Точки $-2$, $0$, $4$: $(-\infty;\ -2) \cup (0;\ 4)$.

  7. Найдите наибольшее целое решение неравенства $(x + 2)(x - 6) \lt 0$.
    Ответ

    Решение $(-2;\ 6)$, наибольшее целое 5.

Задачи по теме на сайте