К методичке В окне печати выберите «Сохранить как PDF». Ответы к задачам раскрыты.

кРепетито · методичка · 10–11 класс · ЕГЭ

Показательные уравнения и неравенства

Показательная функция, приведение к одному основанию, вынесение общего множителя, замена и неравенства.

Показательным называют уравнение, в котором переменная стоит в показателе степени: $2^x = 16$, $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$. Основной приём — привести обе части к одному основанию, а дальше работать с показателями.

Показательная функция

$y = a^x$, где $a \gt 0$, $a \ne 1$. Функция всегда положительна, проходит через $(0;\ 1)$. При $a \gt 1$ возрастает, при $0 \lt a \lt 1$ убывает.

Из монотонности следует главное: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$. А уравнение $a^x = b$ при $b \le 0$ решений не имеет.

Основные приёмы

Приём и признак

ПриёмКогда применять
одно основаниеоснования — степени одного числа: 4, 8, 16, 0,5 через 2
вынесение множителяодно основание, показатели отличаются на число: $3^{x+1} + 3^x$
замена $t = a^x$есть $a^{2x}$ и $a^x$; помните, что $t \gt 0$
логарифмированиеоснования «не сводятся»: $3^x = 7$, $x = \log_3 7$
деление на степеньоднородные: $4^x + 6^x = 2 \cdot 9^x$ — делим на $9^x$

Пример 1.

Решите уравнение $8^{x - 1} = 4^{x + 1}$.

Решение. $2^{3(x - 1)} = 2^{2(x + 1)}$, $3x - 3 = 2x + 2$, $x = 5$.

Ответ: 5.

Пример 2.

Решите уравнение $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x - 1} = 27$.

Решение. $3^{-(2x - 1)} = 3^3$, $1 - 2x = 3$, $x = -1$.

Ответ: −1.

Пример 3.

Решите уравнение $3^{x + 2} - 3^x = 72$.

Решение. $3^x(9 - 1) = 72$, $3^x = 9$, $x = 2$.

Ответ: 2.

Пример 4.

Решите уравнение $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$.

Решение. $t = 2^x \gt 0$: $t^2 - 3t - 4 = 0$, $t = 4$ или $t = -1$. Второе не подходит. $2^x = 4$, $x = 2$.

Ответ: 2.

Пример 5.

Решите уравнение $5^x = 12$.

Решение. По определению логарифма $x = \log_5 12$.

Ответ: $\log_5 12$.

Показательные неравенства

При $a \gt 1$: $a^{f} \gt a^{g} \iff f \gt g$. При $0 \lt a \lt 1$: $a^{f} \gt a^{g} \iff f \lt g$ (знак меняется).

Пример 6.

Решите неравенство $0{,}2^{x^2 - 3} \lt 0{,}2^{2x}$.

Решение. Основание меньше 1, знак меняется: $x^2 - 3 \gt 2x$, $x^2 - 2x - 3 \gt 0$, $(x - 3)(x + 1) \gt 0$.

Ответ: $(-\infty;\ -1) \cup (3;\ +\infty)$.

Пример 7.

Решите неравенство $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 \le 0$.

Решение. $t = 3^x \gt 0$: $t^2 - 10t + 9 \le 0$, $1 \le t \le 9$. Значит $3^0 \le 3^x \le 3^2$, $0 \le x \le 2$.

Ответ: $[0;\ 2]$.

Ещё разборы

Пример 8 (однородное уравнение).

Решите уравнение $4^x - 2 \cdot 6^x - 3 \cdot 9^x = 0$.

Решение. Разделим на $9^x \gt 0$: $\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} - 2\left(\frac{2}{3}\right)^x - 3 = 0$. Пусть $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x \gt 0$: $t^2 - 2t - 3 = 0$, $t = 3$ или $t = -1$. Подходит $t = 3$: $x = \log_{2/3} 3$.

Ответ: $\log_{\frac{2}{3}} 3$.

Пример 9 (разные основания, одинаковый показатель).

Решите уравнение $5^{x - 2} = 3^{x - 2}$.

Решение. Разделим на $3^{x - 2} \gt 0$: $\left(\frac{5}{3}\right)^{x - 2} = 1 = \left(\frac{5}{3}\right)^0$, значит $x = 2$.

Ответ: 2.

Пример 10 (прикладная задача, ЕГЭ №9).

Масса радиоактивного вещества уменьшается по закону $m(t) = m_0 \cdot 2^{-t/T}$, период полураспада $T = 8$ мин, начальная масса 80 мг. Через сколько минут останется 5 мг?

Решение. $80 \cdot 2^{-t/8} = 5$, $2^{-t/8} = \frac{1}{16} = 2^{-4}$, $t = 32$.

Ответ: через 32 минуты.

Коротко о главном

Частый вопрос

Когда ответ записывают через логарифм? Когда основания нельзя привести к одному: $3^x = 10$ решается только как $x = \log_3 10$. В ЕГЭ это нормальный ответ для №13, а в №6 (краткий ответ) числа подобраны так, что логарифм «вычисляется», например $\log_2 32 = 5$.

Задача посложнее.

Решите уравнение $2^{x^2 - 3x} = \frac{1}{4}$.

Решение. $2^{x^2 - 3x} = 2^{-2}$, $x^2 - 3x + 2 = 0$, $x = 1$ или $x = 2$.

Ответ: 1; 2.

Типичные ошибки
  • Оставлять корень замены $t \le 0$: $2^x$ не бывает отрицательным или нулём.
  • Не менять знак при основании меньше 1.
  • Писать $3^{x+2} = 3^x + 9$ вместо $3^x \cdot 9$.
  • Приравнивать показатели при разных основаниях.

Задачи для самопроверки

  1. Решите уравнение $2^{3x - 2} = 16$.
    Ответ

    $3x - 2 = 4$, $x = 2$.

  2. Решите уравнение $25^x = \frac{1}{5}$.
    Ответ

    $5^{2x} = 5^{-1}$, $x = -0{,}5$.

  3. Решите уравнение $2^{x + 1} + 2^{x - 1} = 20$.
    Ответ

    $2^x(2 + \frac{1}{2}) = 20$, $2^x = 8$, $x = 3$.

  4. Решите уравнение $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$.
    Ответ

    $t = 1$ или $t = 3$: $x = 0$ или $x = 1$.

  5. Решите неравенство $3^{x - 1} \ge 27$.
    Ответ

    $x - 1 \ge 3$, $x \ge 4$.

  6. Решите неравенство $\left(\frac{1}{2}\right)^x \gt 8$.
    Ответ

    $2^{-x} \gt 2^3$, $x \lt -3$.

Задачи по теме на сайте