К методичке В окне печати выберите «Сохранить как PDF». Ответы к задачам раскрыты.

кРепетито · методичка · 9 класс · ОГЭ · ЕГЭ

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Формулы $n$-го члена и суммы, характеристическое свойство и текстовые задачи на прогрессии.

Прогрессии — последовательности, построенные по простому правилу: каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа (арифметическая) или умножением на одно и то же число (геометрическая). В ОГЭ задача на прогрессии — №14, обычно с практическим сюжетом.

Арифметическая прогрессия

$a_{n+1} = a_n + d$, где $d$ — разность прогрессии.

$$a_n = a_1 + (n - 1)d, \qquad S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$$

Характеристическое свойство: каждый член (кроме первого) — среднее арифметическое соседей: $a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.

Пример 1.

В арифметической прогрессии $a_1 = 7$, $d = -3$. Найдите $a_{15}$.

Решение. $a_{15} = 7 + 14 \cdot (-3) = 7 - 42 = -35$.

Ответ: −35.

Пример 2.

Найдите сумму первых 20 членов прогрессии $5;\ 9;\ 13;\ \ldots$

Решение. $d = 4$, $a_{20} = 5 + 19 \cdot 4 = 81$. $S_{20} = \frac{5 + 81}{2} \cdot 20 = 43 \cdot 20 = 860$.

Ответ: 860.

Пример 3.

В арифметической прогрессии $a_4 = 10$, $a_9 = 25$. Найдите $a_1$ и $d$.

Решение. Между 4-м и 9-м членами пять шагов: $5d = 25 - 10 = 15$, $d = 3$. $a_1 = a_4 - 3d = 10 - 9 = 1$.

Ответ: $a_1 = 1$, $d = 3$.

Геометрическая прогрессия

$b_{n+1} = b_n \cdot q$, где $b_1 \ne 0$, $q \ne 0$ — знаменатель прогрессии.

$$b_n = b_1 q^{n-1}, \qquad S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\ \ (q \ne 1)$$

Свойство: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$. Если $|q| \lt 1$, сумма бесконечно убывающей прогрессии $S = \dfrac{b_1}{1 - q}$.

Пример 4.

Геометрическая прогрессия: $3;\ -6;\ 12;\ \ldots$ Найдите $b_7$ и $S_6$.

Решение. $q = -2$. $b_7 = 3 \cdot (-2)^6 = 192$. $S_6 = \frac{3((-2)^6 - 1)}{-2 - 1} = \frac{3 \cdot 63}{-3} = -63$.

Проверка суммой: $3 - 6 + 12 - 24 + 48 - 96 = -63$.

Ответ: $b_7 = 192$, $S_6 = -63$.

Пример 5.

В геометрической прогрессии $b_2 = 6$, $b_5 = 162$. Найдите $b_1$.

Решение. $q^3 = \frac{162}{6} = 27$, $q = 3$. $b_1 = 6 : 3 = 2$.

Ответ: 2.

Сравнение

АрифметическаяГеометрическая
шаг$+d$$\times q$
$n$-й член$a_1 + (n-1)d$$b_1 q^{n-1}$
сумма$\frac{a_1 + a_n}{2} n$$\frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
свойство$2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$$b_n^2 = b_{n-1}b_{n+1}$

Текстовые задачи (ОГЭ №14)

Пример 6.

Бегун в первый день пробежал 3 км, а каждый следующий день — на 0,5 км больше, чем в предыдущий. Сколько километров он пробежит за две недели?

Решение. Арифметическая прогрессия $a_1 = 3$, $d = 0{,}5$, $n = 14$. $a_{14} = 3 + 13 \cdot 0{,}5 = 9{,}5$. $S_{14} = \frac{3 + 9{,}5}{2} \cdot 14 = 6{,}25 \cdot 14 = 87{,}5$.

Ответ: 87,5 км.

Пример 7.

Колония бактерий удваивается каждые 20 минут. Сначала было 50 бактерий. Сколько их будет через 2 часа?

Решение. За 2 часа шесть удвоений: $50 \cdot 2^6 = 3200$.

Ответ: 3200.

Ещё разборы

Пример 8 (номер члена).

Является ли число 101 членом арифметической прогрессии $5;\ 9;\ 13;\ \ldots$? Если да, то каким по счёту?

Решение. $5 + 4(n - 1) = 101$, $4(n - 1) = 96$, $n - 1 = 24$, $n = 25$ — натуральное.

Ответ: да, 25-й член.

Пример 9 (отрицательные члены).

Сколько отрицательных членов в прогрессии $a_n = 3n - 40$?

Решение. $3n - 40 \lt 0 \iff n \lt 13\frac{1}{3}$. Отрицательны члены с номерами от 1 до 13.

Ответ: 13.

Пример 10 (периодическая дробь как прогрессия).

Запишите $0{,}(3)$ обыкновенной дробью.

Решение. $0{,}333\ldots = 0{,}3 + 0{,}03 + 0{,}003 + \ldots$ — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с $b_1 = 0{,}3$, $q = 0{,}1$. Сумма $\frac{0{,}3}{0{,}9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

Коротко о главном

Типичные ошибки
  • Писать $a_n = a_1 + nd$ — показатель на единицу меньше номера: $(n - 1)d$.
  • Считать число шагов между $a_4$ и $a_9$ равным 4 вместо 5.
  • В текстовой задаче путать член прогрессии (сколько за один день) и сумму (сколько за все дни).
  • Не учитывать два знака $q$, если известно $q^2$.

Задачи для самопроверки

  1. Найдите $a_{30}$ прогрессии $-4;\ -1;\ 2;\ \ldots$
    Ответ

    $-4 + 29 \cdot 3 = 83$.

  2. Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
    Ответ

    5050.

  3. Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, если $a_1 = 2$, $a_{10} = 29$.
    Ответ

    $\frac{2 + 29}{2} \cdot 10 = 155$.

  4. Найдите $b_6$ геометрической прогрессии $b_1 = 81$, $q = \frac{1}{3}$.
    Ответ

    $81 \cdot \frac{1}{243} = \frac{1}{3}$.

  5. Найдите сумму бесконечно убывающей прогрессии $12;\ 6;\ 3;\ \ldots$
    Ответ

    $\frac{12}{1 - 0{,}5} = 24$.

  6. Зрительный зал: в первом ряду 18 мест, в каждом следующем на 2 больше. Сколько мест в 12 рядах?
    Ответ

    $a_{12} = 40$, $S = \frac{18 + 40}{2} \cdot 12 = 348$.

Задачи по теме на сайте