К методичке В окне печати выберите «Сохранить как PDF». Ответы к задачам раскрыты.

кРепетито · методичка · 10–11 класс · ЕГЭ

Производная и исследование функции

Таблица производных, правила дифференцирования, геометрический смысл, экстремумы и наибольшее значение на отрезке.

Производная показывает скорость изменения функции. С её помощью находят, где функция растёт и убывает, где у неё максимумы и минимумы, и какое значение она принимает в лучшей точке. В ЕГЭ профиль это задания №8 (смысл производной по графику) и №12 (наибольшее и наименьшее значение).

Таблица производных

Производные основных функций

$f(x)$$f'(x)$$f(x)$$f'(x)$
$C$$0$$\sin x$$\cos x$
$x^n$$nx^{n-1}$$\cos x$$-\sin x$
$\sqrt{x}$$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$\operatorname{tg} x$$\dfrac{1}{\cos^2 x}$
$\dfrac{1}{x}$$-\dfrac{1}{x^2}$$e^x$$e^x$
$\ln x$$\dfrac{1}{x}$$a^x$$a^x \ln a$

Правила дифференцирования

Геометрический и физический смысл

$f'(x_0)$ равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке $x_0$, то есть тангенсу угла её наклона к оси $Ox$. Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Если $s(t)$ — координата точки, то $v(t) = s'(t)$ — скорость, $a(t) = v'(t)$ — ускорение.

Пример 1.

Найдите угловой коэффициент касательной к графику $f(x) = x^3 - 2x$ в точке $x_0 = 2$.

Решение. $f'(x) = 3x^2 - 2$, $f'(2) = 12 - 2 = 10$.

Ответ: 10.

Пример 2.

Точка движется по закону $s(t) = t^3 - 6t^2 + 15t$ (м, с). В какой момент её скорость равна 6 м/с?

Решение. $v(t) = 3t^2 - 12t + 15 = 6$, $3t^2 - 12t + 9 = 0$, $t^2 - 4t + 3 = 0$, $t = 1$ или $t = 3$.

Ответ: через 1 с и через 3 с.

Монотонность и экстремумы

Как читать знак производной

ПроизводнаяФункция
$f'(x) \gt 0$ на промежуткевозрастает
$f'(x) \lt 0$ на промежуткеубывает
$f'$ меняет знак с «+» на «−»точка максимума
$f'$ меняет знак с «−» на «+»точка минимума
$f'(x_0) = 0$ без смены знакаэкстремума нет

Пример 3.

Найдите точку максимума функции $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4$.

Решение. $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x - 3)(x + 1)$. Нули: $-1$ и $3$. Знаки: на $(-\infty; -1)$ «+», на $(-1; 3)$ «−», на $(3; +\infty)$ «+». Смена с «+» на «−» в точке $-1$.

Ответ: −1.

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

  1. Найдите $f'(x)$ и её нули (критические точки).
  2. Оставьте точки, которые лежат внутри отрезка.
  3. Вычислите $f$ в этих точках и на концах отрезка.
  4. Выберите наибольшее (наименьшее) из полученных чисел.

Пример 4.

Найдите наименьшее значение $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4$ на отрезке $[0;\ 4]$.

Решение. Критические точки $-1$ и $3$; в отрезок попадает 3. $f(0) = 4$, $f(3) = 27 - 27 - 27 + 4 = -23$, $f(4) = 64 - 48 - 36 + 4 = -16$. Наименьшее −23.

Ответ: −23.

Пример 5.

Найдите наибольшее значение $f(x) = 2\ln x - x^2 + 5$ на отрезке $[0{,}5;\ 2]$.

Решение. $f'(x) = \frac{2}{x} - 2x = \frac{2(1 - x^2)}{x}$, на отрезке ноль в точке $x = 1$. Слева производная положительна, справа отрицательна — это максимум, и он единственный на отрезке, значит, наибольшее значение $f(1) = 0 - 1 + 5 = 4$.

Ответ: 4.

Производная по графику (ЕГЭ №8)

Если дан график функции, производная положительна там, где график идёт вверх, и равна нулю в вершинах «горбов» и «впадин». Если дан график производной, смотрим на знак: выше оси — функция растёт; точки пересечения оси с переходом сверху вниз — максимумы функции.

Ещё разборы

Пример 6 (касательная, параллельная прямой).

Прямая $y = 3x + 1$ параллельна касательной к графику $y = x^2 - 5x + 2$. Найдите абсциссу точки касания.

Решение. У параллельных прямых равные угловые коэффициенты: $y' = 2x - 5 = 3$, $x = 4$.

Ответ: 4.

Пример 7 (производная частного).

Найдите производную $y = \dfrac{x^2}{x - 1}$ и точки, где она равна нулю.

Решение. $y' = \frac{2x(x - 1) - x^2}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}$. Нули: $x = 0$ и $x = 2$.

Ответ: $0$ и $2$.

Пример 8 (оптимизация).

Из квадратного листа жести со стороной 30 см вырезают по углам квадраты и сгибают открытую коробку. Какой должна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы объём коробки был наибольшим?

Решение. Пусть сторона квадратика $x$, $0 \lt x \lt 15$. $V = x(30 - 2x)^2$. $V' = (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) = (30 - 2x)(30 - 6x)$. На интервале ноль при $x = 5$, там знак меняется с «+» на «−» — максимум. $V(5) = 5 \cdot 400 = 2000$ см³.

Ответ: 5 см.

Коротко о главном

Типичные ошибки
  • Путать график функции и график производной в задаче №8.
  • Забывать проверить концы отрезка.
  • Писать в ответ точку максимума, когда спрашивают значение, и наоборот.
  • Не умножать на производную внутренней функции: $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$.

Задачи для самопроверки

  1. Найдите производную $f(x) = 4x^3 - 5x + \frac{2}{x}$.
    Ответ

    $12x^2 - 5 - \frac{2}{x^2}$.

  2. Найдите $f'(0)$, если $f(x) = (2x + 1)^3$.
    Ответ

    $3(2x + 1)^2 \cdot 2$, при $x = 0$ получаем 6.

  3. Найдите точку минимума $f(x) = x^2 - 8x + 3$.
    Ответ

    $f' = 2x - 8 = 0$, $x = 4$.

  4. Найдите наибольшее значение $f(x) = -x^3 + 3x + 2$ на $[0;\ 2]$.
    Ответ

    $f' = -3x^2 + 3 = 0$, $x = 1$; $f(0) = 2$, $f(1) = 4$, $f(2) = 0$. Ответ 4.

  5. Запишите уравнение касательной к $y = x^2$ в точке $x_0 = 3$.
    Ответ

    $y = 9 + 6(x - 3) = 6x - 9$.

  6. Найдите точки экстремума $f(x) = x^4 - 2x^2$.
    Ответ

    $f' = 4x(x - 1)(x + 1)$: минимумы в $\pm 1$, максимум в 0.

Задачи по теме на сайте