К методичке В окне печати выберите «Сохранить как PDF». Ответы к задачам раскрыты.

кРепетито · методичка · 7–10 класс · ОГЭ · ЕГЭ

Степени и их свойства

Степень с натуральным, нулевым, отрицательным и дробным показателем; пять свойств и как ими сокращать выражения.

Степень — сокращённая запись умножения одинаковых множителей. Свойства степеней нужны везде: в вычислениях ОГЭ, в стандартном виде числа, в показательных уравнениях и логарифмах. Их всего пять, но применять их надо безошибочно.

Определения

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n}$ — степень с натуральным показателем: $a$ — основание, $n$ — показатель.

$a^0 = 1$ при $a \ne 0$; $\quad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$; $\quad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ при $a \gt 0$.

Знак степени отрицательного числа зависит от чётности показателя: $(-3)^2 = 9$, $(-3)^3 = -27$. Без скобок минус не возводится: $-3^2 = -9$.

Свойства степеней

Пять свойств

СвойствоФормулаПример
произведение степеней$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$2^3 \cdot 2^4 = 2^7$
частное степеней$a^m : a^n = a^{m-n}$$5^8 : 5^6 = 5^2$
степень степени$(a^m)^n = a^{mn}$$(3^2)^4 = 3^8$
степень произведения$(ab)^n = a^n b^n$$(2x)^3 = 8x^3$
степень дроби$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$$\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$

Свойства работают только для одинаковых оснований (первые три) или одинаковых показателей (последние два). Сумму степеней в одну степень не собрать: $2^3 + 2^4 \ne 2^7$.

Разобранные примеры

Пример 1.

Найдите значение выражения $\dfrac{3^{10} \cdot 3^{-4}}{3^5}$.

Решение. $3^{10 + (-4) - 5} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3.

Пример 2.

Найдите значение $\dfrac{4^5 \cdot 2^3}{8^4}$.

Решение. Приводим к основанию 2: $4^5 = 2^{10}$, $8^4 = 2^{12}$. Получаем $\frac{2^{10} \cdot 2^3}{2^{12}} = 2^{13 - 12} = 2$.

Ответ: 2.

Пример 3.

Найдите значение $\dfrac{6^7}{2^5 \cdot 3^6}$.

Решение. $6^7 = 2^7 \cdot 3^7$. Тогда $\frac{2^7 \cdot 3^7}{2^5 \cdot 3^6} = 2^2 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12.

Пример 4.

Упростите $\dfrac{(a^3)^4 \cdot a^{-2}}{a^7}$ и найдите значение при $a = 2$.

Решение. $a^{12} \cdot a^{-2} : a^7 = a^{12 - 2 - 7} = a^3$. При $a = 2$ получаем 8.

Ответ: 8.

Пример 5 (дробный показатель).

Вычислите $27^{\frac{2}{3}} + 16^{-\frac{1}{4}}$.

Решение. $27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9$. $16^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2}$. Сумма $9{,}5$.

Ответ: 9,5.

Стандартный вид числа

Число записывают как $a \cdot 10^n$, где $1 \le a \lt 10$: $45\,000 = 4{,}5 \cdot 10^4$, $0{,}0032 = 3{,}2 \cdot 10^{-3}$. При умножении таких чисел перемножают мантиссы и складывают показатели: $(2 \cdot 10^3)(4 \cdot 10^{-5}) = 8 \cdot 10^{-2} = 0{,}08$.

Степени, которые полезно знать

$n$12345678910
$2^n$2481632641282565121024
$3^n$392781243729
$5^n$5251256253125

Ещё разборы

Пример 6 (вынесение общего множителя).

Найдите значение $\dfrac{2^{10} - 2^8}{2^7}$.

Решение. В числителе выносим меньшую степень: $2^8(2^2 - 1) = 2^8 \cdot 3$. Делим: $\frac{2^8 \cdot 3}{2^7} = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6.

Пример 7 (сравнение степеней).

Что больше: $2^{30}$ или $3^{20}$?

Решение. Приведём к одинаковому показателю: $2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$, $3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$. Так как $9 \gt 8$, то $3^{20} \gt 2^{30}$.

Ответ: $3^{20}$.

Пример 8 (одночлены).

Упростите $(-2a^3b)^3 \cdot 3a^2b^4$.

Решение. $(-2)^3 a^9 b^3 = -8a^9b^3$. Умножаем: $-8 \cdot 3 \cdot a^{9+2} b^{3+4} = -24a^{11}b^7$.

Ответ: $-24a^{11}b^7$.

Коротко о главном

Задачи посложнее

Пример 9 (последняя цифра степени).

Какой цифрой оканчивается $7^{2025}$?

Решение. Последние цифры степеней семёрки повторяются с периодом 4: $7, 9, 3, 1, 7, 9, \ldots$ Так как $2025 = 4 \cdot 506 + 1$, последняя цифра такая же, как у $7^1$.

Ответ: 7.

Пример 10 (дробь со степенями, ОГЭ №8).

Найдите значение $\dfrac{(5^{-3})^2 \cdot 5^{9}}{5^{2}}$.

Решение. $5^{-6 + 9 - 2} = 5^1 = 5$.

Ответ: 5.

Частый вопрос: «Почему $a^0 = 1$?» Из свойства частного: $\frac{a^3}{a^3} = a^{3-3} = a^0$, а с другой стороны число, делённое само на себя, равно 1. Так же объясняется $a^{-n} = \frac{a^0}{a^n} = \frac{1}{a^n}$.

Типичные ошибки
  • Перемножать показатели при умножении степеней: $a^2 \cdot a^3 = a^5$, а не $a^6$.
  • Считать $a^{-2}$ отрицательным числом: $2^{-2} = \frac{1}{4} \gt 0$.
  • Писать $0^0 = 1$ или $5^0 = 0$. Верно: $5^0 = 1$, а $0^0$ не определено.
  • Раскрывать $(a + b)^2$ как $a^2 + b^2$ — это не свойство степени (см. формулы сокращённого умножения).

Задачи для самопроверки

  1. Вычислите $\dfrac{2^{-3} \cdot 2^9}{2^4}$.
    Ответ

    $2^2 = 4$.

  2. Вычислите $\dfrac{9^4}{3^7}$.
    Ответ

    $3^8 : 3^7 = 3$.

  3. Вычислите $\dfrac{10^5}{2^4 \cdot 5^3}$.
    Ответ

    $\frac{2^5 \cdot 5^5}{2^4 \cdot 5^3} = 2 \cdot 25 = 50$.

  4. Вычислите $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} - 5^0$.
    Ответ

    $9 - 1 = 8$.

  5. Вычислите $8^{\frac{4}{3}}$.
    Ответ

    $2^4 = 16$.

  6. Запишите в стандартном виде $0{,}000\,705$.
    Ответ

    $7{,}05 \cdot 10^{-4}$.

  7. Вычислите $(1{,}5 \cdot 10^{-2}) \cdot (4 \cdot 10^{5})$.
    Ответ

    $6 \cdot 10^3 = 6000$.

Задачи по теме на сайте