К содержанию
кРепетито

7–11 класс · ОГЭ · ЕГЭ7 мин чтения

Вероятность и статистика

Классическая вероятность, сложение и умножение вероятностей, противоположные события, среднее, медиана и размах.

Скачать PDF Задачи по теме
Содержание

Теория вероятностей отвечает на вопрос «насколько вероятно событие». В школе она начинается с простого подсчёта исходов и доходит до формул для независимых и несовместных событий. В ОГЭ это задание №10, в ЕГЭ профиль — №4 и №5.

Классическая вероятность

Если все исходы опыта равновозможны, вероятность события $A$ равна $$P(A) = \frac{m}{n},$$ где $n$ — число всех исходов, $m$ — число благоприятных.

Вероятность всегда от 0 до 1. Невозможное событие имеет вероятность 0, достоверное — 1.

Пример 1.

В лотерее 500 билетов, 20 из них выигрышные. Какова вероятность выиграть, купив один билет?

Решение. $P = \frac{20}{500} = 0{,}04$.

Ответ: 0,04.

Пример 2.

Бросают две игральные кости. Найдите вероятность, что сумма очков равна 8.

Решение. Всего $6 \cdot 6 = 36$ исходов. Сумма 8: $(2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2)$ — 5 исходов. $P = \frac{5}{36} \approx 0{,}14$.

Ответ: $\frac{5}{36}$.

Пример 3.

Монету бросают три раза. Найдите вероятность, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение. Исходов $2^3 = 8$. Ровно два орла: ООР, ОРО, РОО — 3. $P = \frac{3}{8} = 0{,}375$.

Ответ: 0,375.

Правила сложения и умножения

Формулы

СитуацияФормула
противоположное событие$P(\bar A) = 1 - P(A)$
несовместные события («или», не могут вместе)$P(A + B) = P(A) + P(B)$
независимые события («и»)$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$
любые события$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
хотя бы один из $n$ независимых$1 - (1 - p)^n$

Пример 4.

Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет дважды. Найдите вероятность, что он попадёт оба раза, и вероятность, что промахнётся хотя бы раз.

Решение. Выстрелы независимы: $P(\text{оба}) = 0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}64$. «Хотя бы один промах» противоположно «оба попадания»: $1 - 0{,}64 = 0{,}36$.

Ответ: 0,64 и 0,36.

Пример 5 (как в ЕГЭ №5).

В магазине два автомата по продаже кофе. Вероятность, что к вечеру кофе закончится в одном автомате, 0,3; в обоих — 0,12. Найдите вероятность, что к вечеру кофе останется в обоих.

Решение. Пусть $A$ и $B$ — «закончился в первом / во втором», $P(A) = P(B) = 0{,}3$, $P(AB) = 0{,}12$. Хотя бы в одном закончился: $0{,}3 + 0{,}3 - 0{,}12 = 0{,}48$. Остался в обоих: $1 - 0{,}48 = 0{,}52$.

Ответ: 0,52.

Пример 6 (дерево вариантов).

Фабрика выпускает изделия: 70 % на первой линии и 30 % на второй. Брак на первой линии 2 %, на второй 5 %. Найдите вероятность, что случайное изделие бракованное.

Решение. Два пути к браку: $0{,}7 \cdot 0{,}02 + 0{,}3 \cdot 0{,}05 = 0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029$.

Ответ: 0,029.

Описательная статистика

Для набора чисел $3, 7, 7, 9, 14$:

  • среднее арифметическое — сумма, делённая на количество: $\frac{40}{5} = 8$;
  • медиана — середина упорядоченного ряда: 7 (при чётном количестве — среднее двух средних);
  • мода — самое частое значение: 7;
  • размах — разность наибольшего и наименьшего: $14 - 3 = 11$.

Медиана устойчива к выбросам: если 14 заменить на 140, среднее станет 33,2, а медиана останется 7.

Ещё разборы

Пример 7 (жеребьёвка).

В турнире 16 команд, их случайно делят на две группы по 8. Найдите вероятность, что команды «А» и «Б» окажутся в одной группе.

Решение. Пусть «А» уже попала в какую-то группу. В ней осталось 7 мест из 15 свободных для «Б». $P = \frac{7}{15}$.

Ответ: $\frac{7}{15}$.

Пример 8 (условная вероятность через таблицу).

Из 200 учеников 120 занимаются спортом, 80 — музыкой, 50 — и тем и другим. Выбрали ученика, который занимается музыкой. Какова вероятность, что он занимается и спортом?

Решение. Выбор уже сделан среди 80 музыкантов, из них 50 спортсмены: $P = \frac{50}{80} = 0{,}625$.

Ответ: 0,625.

Пример 9 (схема Бернулли).

Монету бросают 4 раза. Найдите вероятность, что орёл выпадет ровно 2 раза.

Решение. Всего $2^4 = 16$ равновозможных исходов. Выбрать, в каких двух бросках из четырёх орёл: $C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ способов. $P = \frac{6}{16} = 0{,}375$.

Ответ: 0,375.

Коротко о главном

  • $P = \frac{m}{n}$ при равновозможных исходах.
  • «Или» для несовместных — сложение, «и» для независимых — умножение.
  • «Хотя бы один» — через противоположное событие.
  • Среднее, медиана, мода и размах описывают набор чисел; медиана устойчива к выбросам.
Типичные ошибки
  • Складывать вероятности совместных событий без вычитания $P(AB)$.
  • Перемножать вероятности зависимых событий как независимых (например, при выборе без возвращения).
  • Неверно считать $n$: при двух бросках кости исходов 36, а не 12.
  • Искать медиану в неупорядоченном ряду.

Задачи для самопроверки

  1. В классе 25 учеников, из них 10 девочек. Наугад вызывают одного. Найдите вероятность, что это мальчик.
    Ответ

    $\frac{15}{25} = 0{,}6$.

  2. Бросают игральную кость. Найдите вероятность, что выпадет число больше 4.
    Ответ

    $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

  3. Вероятность, что батарейка бракованная, 0,05. Найдите вероятность, что обе батарейки в упаковке исправны.
    Ответ

    $0{,}95^2 = 0{,}9025$.

  4. Из 20 билетов ученик выучил 16. Найдите вероятность, что ему достанется невыученный.
    Ответ

    0,2.

  5. Найдите медиану набора 12, 5, 9, 20, 7, 15.
    Ответ

    Упорядочим: 5, 7, 9, 12, 15, 20. Медиана $\frac{9 + 12}{2} = 10{,}5$.

  6. Вероятность попадания 0,6. Сделано три независимых выстрела. Найдите вероятность хотя бы одного попадания.
    Ответ

    $1 - 0{,}4^3 = 0{,}936$.

  7. В коробке 4 красных и 6 синих шаров. Достают два шара без возвращения. Найдите вероятность, что оба красные.
    Ответ

    $\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{2}{15}$.

Задачи по теме

Навыки по теме

Вероятность: «хотя бы один»≈ 4 мин
АВ
Методичку подготовил
Александр Владимирович
  • МГУ им. М.В. Ломоносова
  • Творческая лаборатория «Дважды Два»
  • 20+ лет стажа преподавания