Рационализация в показательных и логарифмических неравенствах
Как заменить разность степеней или логарифмов простым множителем с тем же знаком.
- ЕГЭ профиль №15
- Неравенства с переменным основанием
Метод рационализации (замены множителей) основан на простом наблюдении: знак выражения $\log_a f - \log_a g$ совпадает со знаком $(a - 1)(f - g)$. Значит, сложный множитель можно заменить простым — на ОДЗ знак не изменится.
Таблица замен (на ОДЗ)
| Множитель | Заменяем на |
|---|---|
| $\log_a f - \log_a g$ | $(a - 1)(f - g)$ |
| $\log_a f$ | $(a - 1)(f - 1)$ |
| $a^f - a^g$ | $(a - 1)(f - g)$ |
| $|f| - |g|$ | $(f - g)(f + g)$ |
| $\sqrt{f} - \sqrt{g}$ | $f - g$ |
Основание $a$ может зависеть от $x$ — в этом и сила метода: не нужно разбирать случаи $a \gt 1$ и $0 \lt a \lt 1$.
- Выпишите ОДЗ: аргументы логарифмов положительны, основания положительны и не равны 1.
- Приведите неравенство к виду «произведение/частное $\vee 0$», где множители — разности из таблицы.
- Замените каждый множитель по таблице и решите методом интервалов.
- Пересеките с ОДЗ.
Пример.
Решите $\log_{x}(2x - 1) \ge 1$.
Решение. ОДЗ: $x \gt 0$, $x \ne 1$, $2x - 1 \gt 0$, то есть $x \gt \frac{1}{2}$, $x \ne 1$.
$\log_x(2x - 1) - \log_x x \ge 0$ → $(x - 1)(2x - 1 - x) \ge 0$ → $(x - 1)^2 \ge 0$ — верно при всех $x$.
С учётом ОДЗ: $x \in \left(\frac{1}{2};\ 1\right) \cup (1;\ +\infty)$. Проверка точкой $x = 0{,}75$: $\log_{0{,}75} 0{,}5 \approx 2{,}4 \ge 1$ — верно.
Ответ: $\left(\frac{1}{2};\ 1\right) \cup (1;\ +\infty)$.
Важно. Замена верна только на ОДЗ. Если забыть ОДЗ, в ответ попадут точки, где логарифм не существует.
Проверь себя
- На что заменить множитель $3^x - 9$?
Показать ответ
$3^x - 3^2 \to (3 - 1)(x - 2)$, то есть на $(x - 2)$.
- На что заменить множитель $\log_{0{,}5}(x + 2)$?
Показать ответ
$(0{,}5 - 1)(x + 2 - 1) = -0{,}5(x + 1)$, по знаку — на $-(x + 1)$.
- Решите $\dfrac{2^x - 4}{x - 3} \le 0$.
Показать ответ
$\dfrac{x - 2}{x - 3} \le 0$: $[2;\ 3)$.