К содержанию
кРепетито

8–9 класс · ОГЭ · ЕГЭ7 мин чтения

Окружность и углы

Центральные и вписанные углы, касательные, хорды, вписанные и описанные четырёхугольники — с готовыми фактами для задач.

Скачать PDF Задачи по теме
Содержание

Задачи на окружность решаются небольшим набором фактов: связь вписанного и центрального угла, свойства касательной и хорд, признаки вписанного и описанного четырёхугольника. Если их знать «в лицо», большинство задач ОГЭ №16 решаются в одно действие.

Центральный и вписанный угол

Вписанный и центральный угол ABCO
Центральный угол $AOB$ и вписанный угол $ACB$ опираются на одну дугу $AB$.

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую опирается. Вписанный угол равен половине дуги: $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB$.

Следствия

ФактФормулировка
на одну дугувписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны
на диаметрвписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой
по разные сторонывписанные углы, опирающиеся на хорду с разных сторон, в сумме 180°
касательная и хордаугол между ними равен половине дуги внутри угла

Пример 1.

Центральный угол на 36° больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. Найдите вписанный угол.

Решение. Пусть вписанный $x$, тогда центральный $2x$. $2x - x = 36°$, $x = 36°$.

Ответ: 36°.

Пример 2.

$AB$ — диаметр окружности, $C$ — точка окружности, $\angle ABC = 28°$. Найдите $\angle BAC$.

Решение. $\angle ACB = 90°$, так как опирается на диаметр. $\angle BAC = 180° - 90° - 28° = 62°$.

Ответ: 62°.

Касательная

  • Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
  • Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.
  • Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть: $MT^2 = MA \cdot MB$.

Пример 3.

Из точки $M$, удалённой от центра окружности на 13, проведена касательная $MT$. Радиус 5. Найдите $MT$.

Решение. $OT \perp MT$, по теореме Пифагора $MT = \sqrt{169 - 25} = 12$.

Ответ: 12.

Хорды

  • Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
  • Для пересекающихся хорд $AB$ и $CD$ с точкой пересечения $P$: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$.
  • Расстояние от центра до хорды длины $l$: $d = \sqrt{R^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}$.

Пример 4.

Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. $AP = 4$, $PB = 9$, $CP = 6$. Найдите $PD$.

Решение. $4 \cdot 9 = 6 \cdot PD$, $PD = 6$.

Ответ: 6.

Вписанные и описанные четырёхугольники, радиусы

Признаки и радиусы

УтверждениеУсловие
четырёхугольник вписан в окружностьсуммы противоположных углов равны 180°
в четырёхугольник вписана окружностьсуммы противоположных сторон равны
радиус описанной у прямоугольного треугольника$R = \frac{c}{2}$ (половина гипотенузы)
радиус вписанной в прямоугольный треугольник$r = \frac{a + b - c}{2}$
теорема синусов$\frac{a}{\sin A} = 2R$
правильный треугольник со стороной $a$$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Пример 5.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $\angle A = 74°$, $\angle B = 112°$. Найдите $\angle C$ и $\angle D$.

Решение. $\angle C = 180° - 74° = 106°$, $\angle D = 180° - 112° = 68°$.

Ответ: 106° и 68°.

Пример 6.

Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12.

Решение. Гипотенуза 13. $r = \frac{5 + 12 - 13}{2} = 2$.

Ответ: 2.

Ещё разборы

Пример 7 (угол между касательной и хордой).

Касательная в точке $A$ и хорда $AB$ образуют угол 40°. Найдите центральный угол $AOB$.

Решение. Угол между касательной и хордой равен половине дуги между ними, значит дуга $AB$ равна 80°, и центральный угол $AOB = 80°$.

Ответ: 80°.

Пример 8 (вписанный треугольник).

Треугольник $ABC$ вписан в окружность радиуса 6, $\angle C = 30°$. Найдите $AB$.

Решение. По теореме синусов $AB = 2R \sin C = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$. Другой путь: центральный угол $AOB = 60°$, треугольник $AOB$ равносторонний со стороной $R = 6$.

Ответ: 6.

Пример 9 (касательная и секущая).

Из точки $M$ проведены касательная $MT = 6$ и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$, $MA = 4$. Найдите $AB$.

Решение. $MT^2 = MA \cdot MB$: $36 = 4 \cdot MB$, $MB = 9$. $AB = MB - MA = 5$.

Ответ: 5.

Коротко о главном

  • Вписанный угол — половина дуги; на диаметр — прямой.
  • Касательная перпендикулярна радиусу; отрезки касательных из одной точки равны.
  • Хорды: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$; касательная и секущая: $MT^2 = MA \cdot MB$.
  • Вписанный четырёхугольник: противоположные углы в сумме 180°; описанный: суммы противоположных сторон равны.

Частый вопрос

Как найти, на какую дугу опирается вписанный угол? Это дуга, которая лежит «внутри» угла — между его сторонами, по другую сторону от вершины. Если угол тупой, дуга больше полуокружности. Нарисуйте центр окружности: так видно, какой центральный угол соответствует той же дуге.

Типичные ошибки
  • Считать вписанный угол равным дуге, а не её половине.
  • Путать признаки: «углы» — для вписанного четырёхугольника, «стороны» — для описанного.
  • Забывать прямой угол между касательной и радиусом.
  • Брать радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равным гипотенузе.

Задачи для самопроверки

  1. Вписанный угол равен 47°. Найдите центральный угол, опирающийся на ту же дугу.
    Ответ

    94°.

  2. Касательные из точки $M$ касаются окружности в точках $A$ и $B$, $MA = 9$. Найдите $MB$.
    Ответ

    9.

  3. Радиус 10, хорда 16. Найдите расстояние от центра до хорды.
    Ответ

    $\sqrt{100 - 64} = 6$.

  4. В трапецию с боковыми сторонами 5 и 7 вписана окружность. Найдите сумму оснований.
    Ответ

    12.

  5. Катеты прямоугольного треугольника 6 и 8. Найдите радиус описанной окружности.
    Ответ

    5.

  6. Сторона треугольника $10$, противолежащий угол 30°. Найдите радиус описанной окружности.
    Ответ

    $2R = 10 : \frac{1}{2} = 20$, $R = 10$.

Задачи по теме

Навыки по теме

Табличные значения синуса и косинуса по окружности≈ 3 мин Площадь фигуры на клетчатой бумаге: формула Пика≈ 4 мин Теорема Пифагора: египетские тройки≈ 3 мин
АВ
Методичку подготовил
Александр Владимирович
  • МГУ им. М.В. Ломоносова
  • Творческая лаборатория «Дважды Два»
  • 20+ лет стажа преподавания