Табличные значения синуса и косинуса по окружности
Как восстановить любое табличное значение за 10 секунд, зная только три числа и знаки четвертей.
- Тригонометрия, 9–11 класс
- ЕГЭ профиль №6, №7, №13
- Отбор корней на окружности
Для любого «табличного» угла синус и косинус по модулю равны одному из чисел $0$, $\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $1$. Окружность подсказывает, какое из них и с каким знаком.
- Найдите точку на окружности и её «опорный» острый угол с осью $Ox$: для 150° это 30°, для 225° — 45°, для 300° — 60°.
- Модуль. Возьмите значение опорного угла: проекция «длиннее» — $\frac{\sqrt{3}}{2}$, «короче» — $\frac{1}{2}$, при 45° обе $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
- Знак — по положению точки: справа от $Oy$ косинус положителен, выше $Ox$ синус положителен.
Пример.
Найдите $\cos 150°$ и $\sin 240°$.
Решение. 150° — во II четверти, опорный угол 30°: точка левее оси $Oy$, косинус отрицателен, по модулю «длинная» проекция: $\cos 150° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. 240° — в III четверти, опорный 60°: синус отрицателен, вертикальная проекция у 60° «длинная»: $\sin 240° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Проверь себя
- Найдите $\sin 120°$.
Показать ответ
$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
- Найдите $\cos 135°$.
Показать ответ
$-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
- Найдите $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \cos\frac{5\pi}{3}$.
Показать ответ
$-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$.