Наибольшее и наименьшее значение на отрезке
Алгоритм для ЕГЭ №12 в четыре шага и как сэкономить на вычислениях в концах отрезка.
- ЕГЭ профиль №12
- Задачи на оптимизацию
- ЕГЭ профиль №18 — оценка выражений
Непрерывная функция на отрезке достигает наибольшего и наименьшего значения либо в концах, либо в критических точках. Поэтому достаточно сравнить несколько чисел.
- Найдите $f'(x)$ и решите $f'(x) = 0$.
- Отберите корни, лежащие на отрезке.
- Вычислите $f$ в отобранных точках и на концах.
- Выберите наибольшее или наименьшее число.
Пример 1.
Найдите наибольшее значение $y = x^3 - 12x + 7$ на $[-3;\ 0]$.
Решение. $y' = 3x^2 - 12 = 0$, $x = \pm 2$; на отрезке $x = -2$. $y(-3) = -27 + 36 + 7 = 16$, $y(-2) = -8 + 24 + 7 = 23$, $y(0) = 7$.
Ответ: 23.
Экономия. Если на отрезке ровно одна критическая точка и в ней максимум (производная меняет знак с «+» на «−»), то это и есть наибольшее значение — концы можно не считать. В ЕГЭ это часто спасает от вычисления $e^3$ или $\ln 7$.
Пример 2.
Найдите наименьшее значение $y = (x - 5)e^{x - 4}$ на $[3;\ 5]$.
Решение. $y' = e^{x - 4} + (x - 5)e^{x - 4} = (x - 4)e^{x - 4}$. Ноль при $x = 4$; слева «$-$», справа «$+$» — минимум. $y(4) = (4 - 5)e^0 = -1$.
Ответ: −1.
Проверь себя
- Найдите наименьшее значение $y = x^2 - 6x + 1$ на $[0;\ 4]$.
Показать ответ
В вершине $x = 3$: $-8$.
- Найдите наибольшее значение $y = 3x - x^3$ на $[0;\ 2]$.
Показать ответ
$x = 1$: $y = 2$.
- Найдите наибольшее значение $y = 2x - \ln x$ на отрезке $\left[\frac{1}{4};\ 1\right]$.
Показать ответ
$y' = 2 - \frac{1}{x} = 0$ при $x = \frac{1}{2}$ — это минимум. Наибольшее — в одном из концов: $y(\frac{1}{4}) = 0{,}5 + \ln 4 \approx 1{,}89$, $y(1) = 2$. Наибольшее 2 при $x = 1$.