Вершина параболы
Формула $x_0 = -frac{b}{2a}$, два способа найти $y_0$ и где это нужно, кроме графиков.
- Квадратичная функция, 8–9 класс
- ОГЭ №11, №22
- ЕГЭ профиль №11, №12 — экстремум без производной
- Задачи на наибольшую площадь
Вершина параболы — точка, где функция достигает наибольшего или наименьшего значения. Её координаты находятся за одну строку.
$$x_0 = -\frac{b}{2a}, \qquad y_0 = f(x_0) = -\frac{D}{4a}.$$
При $a \gt 0$ в вершине наименьшее значение, при $a \lt 0$ — наибольшее.
Пример 1.
Найдите вершину $y = 2x^2 - 12x + 7$.
Решение. $x_0 = \frac{12}{4} = 3$. Подставляем: $y_0 = 18 - 36 + 7 = -11$. Через дискриминант: $D = 144 - 56 = 88$, $-\frac{88}{8} = -11$ — совпало.
Ответ: $(3;\ -11)$.
Через корни. Вершина лежит ровно посередине между нулями: $x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}$. У $y = (x - 1)(x - 7)$ вершина при $x_0 = 4$, без раскрытия скобок.
Пример 2 (наибольшая площадь).
Из проволоки длиной 40 см сгибают прямоугольник. Какая наибольшая площадь?
Решение. Стороны $x$ и $20 - x$. $S = x(20 - x)$ — парабола с ветвями вниз, нули 0 и 20, вершина при $x = 10$. $S = 100$.
Ответ: 100 см² (квадрат).
Проверь себя
- Найдите вершину $y = x^2 + 8x + 10$.
Показать ответ
$(-4;\ -6)$.
- Найдите наибольшее значение $y = -x^2 + 6x - 4$.
Показать ответ
$x_0 = 3$, $y_0 = 5$.
- Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $-2$ и $6$. Найдите абсциссу вершины.
Показать ответ
2.