Проверка корней подстановкой
Тридцать секунд, которые ловят большинство ошибок в уравнениях и посторонние корни.
- Любые уравнения с 5 класса
- ОГЭ №9, №20
- ЕГЭ профиль №6 — простейшие уравнения
- Иррациональные и дробные уравнения
Уравнение — это вопрос «при каком $x$ равенство верно?». Поэтому лучшая проверка — подставить найденный корень в исходное уравнение и посмотреть, получится ли верное равенство.
- Возьмите исходное уравнение — не промежуточное, где ошибка могла уже появиться.
- Подставьте корень отдельно в левую и в правую часть.
- Сравните числа. Не совпали — ищите ошибку или отбрасывайте корень как посторонний.
Когда проверка обязательна
Есть преобразования, после которых появляются посторонние корни: возведение в квадрат, умножение на выражение с переменной, потенцирование логарифмов. После них подстановка — часть решения, а не просто контроль.
Пример.
Решите уравнение $\sqrt{x + 6} = x$.
Решение. Возводим в квадрат: $x + 6 = x^2$, $x^2 - x - 6 = 0$, $x = 3$ или $x = -2$.
Проверка: $x = 3$: $\sqrt{9} = 3$ — верно. $x = -2$: $\sqrt{4} = 2 \ne -2$ — посторонний корень.
Ответ: 3.
Если корень «некрасивый» (например, $\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$), подставлять долго. Тогда вместо подстановки проверьте условия: ОДЗ и знак правой части ($x \ge 0$ для уравнения $\sqrt{f} = x$).
Проверь себя
- Решите $\sqrt{2x + 3} = x$.
Показать ответ
$x^2 - 2x - 3 = 0$: 3 и −1. Проверка оставляет только 3.
- Ученик решил уравнение $3(x - 2) = x + 4$ и получил $x = 4$. Верно ли?
Показать ответ
Нет: $3 \cdot 2 = 6$, а $4 + 4 = 8$. Верный корень $x = 5$.
- Есть ли посторонний корень у уравнения $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$, если решать «сокращением»?
Показать ответ
После сокращения $x + 1 = 2$, $x = 1$ — но при $x = 1$ знаменатель равен нулю. Корней нет.