Сокращение дробей с многочленами
Сокращают множители, а не слагаемые. Алгоритм в три шага и самые частые ловушки.
- Алгебраические дроби, 8 класс
- ОГЭ №12, №20 — значения выражений
- ЕГЭ профиль №7 — преобразования
Сократить можно только общий множитель числителя и знаменателя. Поэтому сначала оба нужно разложить на множители — иначе «сокращение» превращается в ошибку.
Можно: $\dfrac{3(x + 2)}{5(x + 2)} = \dfrac{3}{5}$
Нельзя: $\dfrac{x + 2}{x + 5} \ne \dfrac{2}{5}$ — $x$ здесь слагаемое
- Вынесите общий множитель: $a^3 - a = a(a^2 - 1)$.
- Примените формулы: разность квадратов, квадрат суммы, разложение трёхчлена по корням.
- Сократите одинаковые скобки и запишите, при каких значениях знаменатель исходной дроби был нулём.
Пример 1.
$\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + x - 6}$.
Решение. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$; у $x^2 + x - 6$ корни 2 и $-3$: $(x - 2)(x + 3)$. Сокращаем $(x - 2)$: $\dfrac{x + 2}{x + 3}$.
Ответ: $\dfrac{x + 2}{x + 3}$.
Пример 2.
$\dfrac{a^3 - a}{a^2 + a}$.
Решение. $\dfrac{a(a - 1)(a + 1)}{a(a + 1)} = a - 1$ (при $a \ne 0$, $a \ne -1$).
Ответ: $a - 1$.
Скобки «наоборот». $(b - a) = -(a - b)$. Поэтому $\dfrac{x - 5}{5 - x} = -1$, а не 1.
Проверь себя
- Сократите $\dfrac{4x^2 - 9}{6x + 9}$.
Показать ответ
$\dfrac{(2x - 3)(2x + 3)}{3(2x + 3)} = \dfrac{2x - 3}{3}$.
- Сократите $\dfrac{y^2 - 6y + 9}{3 - y}$.
Показать ответ
$\dfrac{(y - 3)^2}{-(y - 3)} = 3 - y$.
- Найдите значение $\dfrac{x^2 - 25}{x^2 + 5x}$ при $x = 2{,}5$.
Показать ответ
$\dfrac{x - 5}{x} = \dfrac{-2{,}5}{2{,}5} = -1$.