ЕГЭ по профильной математике: структура и стратегия
Части экзамена, баллы за каждое задание, на какой результат реально выйти и как выстроить подготовку.
Содержание
Профильная математика нужна для поступления на технические, экономические и естественно-научные направления. Экзамен устроен так, что первая часть доступна при хорошей школьной подготовке, а высокие баллы дают задачи второй части — и в каждой из них можно получить частичные баллы.
Структура, критерии и шкалы утверждаются ежегодно. Ниже — описание своими словами по документам последних лет. Актуальные демоверсию, спецификацию и кодификатор смотрите на странице ФИПИ для ЕГЭ и в архиве документов ФИПИ.
Структура
Задания профильного ЕГЭ
| № | Тема | Первичные баллы |
|---|---|---|
| 1 | планиметрия | 1 |
| 2 | векторы | 1 |
| 3 | стереометрия | 1 |
| 4 | простая вероятность | 1 |
| 5 | вероятности сложных событий | 1 |
| 6 | простейшие уравнения | 1 |
| 7 | вычисления и преобразования | 1 |
| 8 | производная и первообразная | 1 |
| 9 | задача с прикладным содержанием | 1 |
| 10 | текстовая задача | 1 |
| 11 | графики функций | 1 |
| 12 | наибольшее и наименьшее значение | 1 |
| 13 | уравнение с отбором корней | 2 |
| 14 | стереометрическая задача | 3 |
| 15 | неравенство | 2 |
| 16 | экономическая (финансовая) задача | 2 |
| 17 | планиметрическая задача | 3 |
| 18 | задача с параметром | 4 |
| 19 | числа и их свойства | 4 |
Итого 19 заданий: 12 с кратким ответом и 7 с развёрнутым. Максимум 32 первичных балла. Длительность 3 часа 55 минут.
Первичные баллы переводятся в стобалльную шкалу нелинейно: первые баллы «стоят» дороже, поэтому каждое задание первой части очень ценно. Есть минимальные пороги — для аттестата и отдельный для поступления в вуз; их значения публикуются ежегодно, а вузы назначают свои минимумы для конкурса.
Реалистичные цели
| Что решено | Ориентир |
|---|---|
| первая часть без ошибок | около 70 тестовых баллов и выше |
| + №13 и №15 (по 2 балла) | около 76–80 |
| + №16 и частично №17 или №14 | 80+ |
| + параметр и числа | 90+ |
Ориентиры приблизительные: перевод баллов меняется от года к году. Главный вывод не меняется: безошибочная первая часть и два «стандартных» задания второй части дают уверенный результат для большинства вузов.
Стратегия на экзамене
- Первая часть — за 70–90 минут. Каждый ответ проверьте сразу: подстановкой, оценкой порядка, здравым смыслом.
- №13 и №15 — это «свои» задачи для большинства учеников. На каждую 20–25 минут, с аккуратным оформлением.
- №16 — экономическая задача решается по шаблону (кредит, вклад). Выпишите схему по годам.
- №14 и №17 — пункт «а» (доказательство) часто проще пункта «б» и приносит балл сам по себе.
- №18 и №19 — за частичные продвижения тоже ставят баллы. В №19 пункт «а» нередко решается примером.
Частичные баллы — это реально
Пример (№13).
Если уравнение решено верно, а отбор корней выполнен с ошибкой, по критериям последних лет обычно ставят 1 балл из 2. Поэтому даже при нехватке времени стоит довести до конца пункт «а».
Пример (№15).
Решите неравенство $\dfrac{4^x - 2^{x+3} + 7}{2^x - 1} \le 0$ — и посмотрите, как оформляется решение.
Решение. Пусть $t = 2^x \gt 0$. Неравенство: $\dfrac{t^2 - 8t + 7}{t - 1} \le 0$, то есть $\dfrac{(t - 1)(t - 7)}{t - 1} \le 0$ при $t \ne 1$. Значит, $t - 7 \le 0$ и $t \ne 1$: $0 \lt t \le 7$, $t \ne 1$.
Возвращаемся к $x$: $2^x \le 7$ и $2^x \ne 1$, то есть $x \le \log_2 7$, $x \ne 0$.
Ответ: $(-\infty;\ 0) \cup (0;\ \log_2 7]$.
План подготовки
| Период | Задача |
|---|---|
| сентябрь — декабрь | вся первая часть по темам, до устойчивых 11–12 из 12 |
| январь — февраль | №13, №15, №16 до уверенного решения |
| март — апрель | №14 и №17 (хотя бы пункт «а»), начала №18–19 |
| май | полные варианты на время, разбор каждой ошибки |
Как оформлять решения второй части
- Каждое преобразование — отдельной строкой, с пояснением, если оно неочевидно: «по теореме Виета», «так как основание больше 1».
- Ограничения (ОДЗ, $t \gt 0$ после замены, отбор на отрезке) записывайте явно — за их отсутствие снимают баллы.
- В геометрии сначала докажите пункт «а», даже если пункт «б» кажется проще: он оценивается отдельно.
- Ответ записывайте отдельной строкой «Ответ: …» в той форме, о которой спрашивают.
Пример (№13, отбор корней).
а) Решите уравнение $\cos 2x + \sin x = 0$. б) Найдите корни на отрезке $\left[\frac{\pi}{2};\ 2\pi\right]$.
Решение. а) $1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0$, то есть $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$. Пусть $t = \sin x$: $t = 1$ или $t = -\frac{1}{2}$.
$\sin x = 1$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. $\ \sin x = -\frac{1}{2}$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.
б) На отрезке $\left[\frac{\pi}{2};\ 2\pi\right]$: $\frac{\pi}{2}$; из второй серии $-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$; из третьей $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6}$.
Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{\pi}{2}$, $\frac{7\pi}{6}$, $\frac{11\pi}{6}$.
Коротко о главном
- 19 заданий, 32 первичных балла, 3 ч 55 мин; сверяйтесь с документами ФИПИ текущего года.
- Безошибочная первая часть — фундамент любого результата.
- №13, №15, №16 — самые «надёжные» задачи второй части.
- За частичное решение ставят баллы: доводите до конца хотя бы пункт «а».
- Браться за параметр, не решив первую часть без ошибок.
- Писать во второй части только ответ — без решения за него баллы не ставят.
- Забывать ОДЗ в №13 и №15.
- Неверно записывать ответ в бланк: десятичная дробь пишется через запятую, без единиц измерения.
Проверьте себя
- Сколько первичных баллов можно получить за вторую часть?
Ответ
$2 + 3 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 = 20$.
- Почему первая часть так важна для итогового балла?
Ответ
Шкала перевода нелинейна: первые первичные баллы дают больше тестовых.
- В неравенстве из примера найдите все целые решения на отрезке $[-2;\ 3]$.
Ответ
$\log_2 7 \approx 2{,}81$, поэтому подходят $-2, -1, 1, 2$.
Задачи по теме
Навыки по теме
- МГУ им. М.В. Ломоносова
- Творческая лаборатория «Дважды Два»
- 20+ лет стажа преподавания