К содержанию
кРепетито

8–9 класс · ОГЭ · ЕГЭ7 мин чтения

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Синус, косинус, тангенс острого угла, табличные значения 30°, 45°, 60° и решение прямоугольных треугольников.

Скачать PDF Задачи по теме
Содержание

Синус, косинус и тангенс острого угла — это отношения сторон прямоугольного треугольника. Зная одну сторону и угол, с их помощью можно найти все остальные стороны. В ОГЭ и в первом задании ЕГЭ это встречается постоянно.

Определения

Отношения сторон ACB α прилежащий катет противолежащий гипотенуза
Для угла $\alpha$ при вершине $A$: $BC$ — противолежащий катет, $AC$ — прилежащий, $AB$ — гипотенуза.

$$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}, \quad \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}, \quad \operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}.$$

Синус и косинус острого угла всегда меньше 1, потому что катет короче гипотенузы. Тангенс может быть любым положительным числом.

Основные соотношения

  • $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ — это теорема Пифагора, делённая на $c^2$.
  • $\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
  • Для острых углов треугольника $\alpha + \beta = 90°$: $\sin \alpha = \cos \beta$, $\ \operatorname{tg} \alpha = \dfrac{1}{\operatorname{tg} \beta}$.

Табличные значения

Углы 30°, 45°, 60°

30°45°60°
$\sin$$\frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{1}{2}$
$\operatorname{tg}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$1$\sqrt{3}$

Запомнить легко: синусы растут как $\frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}$, косинусы — в обратном порядке. Следствие для 30°: катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

Как решать задачи

  1. Отметьте известный угол и определите, какие стороны для него противолежащая, прилежащая и гипотенуза.
  2. Выберите функцию, которая связывает известную сторону с искомой.
  3. Запишите равенство и выразите неизвестное.

Пример 1.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $AB = 20$, $\sin A = 0{,}6$. Найдите $BC$ и $AC$.

Решение. $BC$ противолежит углу $A$: $BC = AB \cdot \sin A = 12$. По теореме Пифагора $AC = \sqrt{400 - 144} = 16$.

Ответ: $BC = 12$, $AC = 16$.

Пример 2.

В прямоугольном треугольнике катет $AC = 6$, $\operatorname{tg} A = \frac{4}{3}$. Найдите гипотенузу.

Решение. $BC = AC \cdot \operatorname{tg} A = 8$. Гипотенуза $\sqrt{36 + 64} = 10$.

Ответ: 10.

Пример 3.

Известно, что $\cos \alpha = \frac{5}{13}$, угол острый. Найдите $\sin \alpha$ и $\operatorname{tg} \alpha$.

Решение. $\sin \alpha = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \frac{12}{13}$. $\operatorname{tg} \alpha = \frac{12}{13} : \frac{5}{13} = \frac{12}{5} = 2{,}4$.

Ответ: $\frac{12}{13}$; 2,4.

Пример 4.

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна $5\sqrt{3}$, угол при основании 30°. Найдите боковую сторону.

Решение. В прямоугольном треугольнике, отсекаемом высотой, катет $5\sqrt{3}$ лежит против угла 30°, поэтому гипотенуза (боковая сторона) вдвое больше: $10\sqrt{3}$.

Ответ: $10\sqrt{3}$.

Пример 5 (практическая).

Пандус поднимается на 0,5 м при длине горизонтальной проекции 6 м. Найдите тангенс угла наклона.

Решение. $\operatorname{tg} \alpha = \frac{0{,}5}{6} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

За пределами прямоугольного треугольника

В 9 классе определения расширяют на углы от 0° до 180° через единичную окружность. Пригодятся формулы $\sin(180° - \alpha) = \sin \alpha$ и $\cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha$, а также теоремы синусов и косинусов: $\frac{a}{\sin A} = 2R$, $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.

Ещё разборы

Пример 6 (через высоту).

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $\cos A = 0{,}8$, высота $CH = 12$. Найдите $AC$.

Решение. В прямоугольном треугольнике $ACH$ (угол $H$ прямой) катет $CH$ противолежит углу $A$: $CH = AC \sin A$. $\sin A = \sqrt{1 - 0{,}64} = 0{,}6$. $AC = 12 : 0{,}6 = 20$.

Ответ: 20.

Пример 7 (тангенс через синус).

$\sin A = \frac{\sqrt{7}}{4}$, угол острый. Найдите $\operatorname{tg} A$.

Решение. $\cos A = \sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \frac{3}{4}$. $\operatorname{tg} A = \frac{\sqrt{7}/4}{3/4} = \frac{\sqrt{7}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{3}$.

Пример 8 (теорема косинусов).

Две стороны треугольника 5 и 8, угол между ними 60°. Найдите третью сторону.

Решение. $c^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$, $c = 7$.

Ответ: 7.

Как выбрать функцию

ИзвестноИщемФункция
гипотенузапротиволежащий катет$\sin$
гипотенузаприлежащий катет$\cos$
один катетдругой катет$\operatorname{tg}$
катетгипотенузаделим катет на $\sin$ или $\cos$

Коротко о главном

  • $\sin$ — противолежащий к гипотенузе, $\cos$ — прилежащий к гипотенузе, $\operatorname{tg}$ — противолежащий к прилежащему.
  • $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ позволяет найти одну функцию по другой.
  • Значения для 30°, 45°, 60° нужно знать наизусть.
  • Для непрямоугольных треугольников — теоремы синусов и косинусов.

Задача посложнее

Пример 9 (высота дерева).

С расстояния 30 м от дерева его вершина видна под углом 30° к горизонту (глаза наблюдателя на высоте 1,5 м). Найдите высоту дерева, если $\sqrt{3} \approx 1{,}73$.

Решение. Часть дерева выше уровня глаз — противолежащий катет: $30 \cdot \operatorname{tg} 30° = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}3$ м. Добавляем рост до глаз: $17{,}3 + 1{,}5 = 18{,}8$ м.

Ответ: около 18,8 м.

Типичные ошибки
  • Путать противолежащий и прилежащий катеты — они зависят от того, о каком угле речь.
  • Делить гипотенузу на катет и получать «синус» больше 1.
  • Забывать, что $\sin^2 \alpha$ — это $(\sin \alpha)^2$.
  • Использовать $\cos 30° = \frac{1}{2}$ (это $\cos 60°$).

Задачи для самопроверки

  1. В треугольнике $ABC$ угол $C = 90°$, $AC = 8$, $AB = 10$. Найдите $\cos A$ и $\sin A$.
    Ответ

    $\cos A = 0{,}8$, $\sin A = 0{,}6$.

  2. Гипотенуза 14, острый угол 30°. Найдите катет, лежащий против этого угла.
    Ответ

    7.

  3. $\sin \alpha = \frac{8}{17}$, угол острый. Найдите $\cos \alpha$.
    Ответ

    $\frac{15}{17}$.

  4. Катет 9, прилежащий к нему угол 45°. Найдите гипотенузу.
    Ответ

    $9\sqrt{2}$.

  5. В прямоугольном треугольнике $\operatorname{tg} A = 0{,}75$, противолежащий катет 6. Найдите прилежащий катет.
    Ответ

    $6 : 0{,}75 = 8$.

  6. Найдите $\sin^2 37° + \cos^2 37°$.
    Ответ

    1.

Задачи по теме

Навыки по теме

Табличные значения синуса и косинуса по окружности≈ 3 мин Площадь фигуры на клетчатой бумаге: формула Пика≈ 4 мин Теорема Пифагора: египетские тройки≈ 3 мин Формулы приведения без зубрёжки≈ 4 мин ОДЗ за 30 секунд≈ 4 мин
АВ
Методичку подготовил
Александр Владимирович
  • МГУ им. М.В. Ломоносова
  • Творческая лаборатория «Дважды Два»
  • 20+ лет стажа преподавания