Формулы приведения без зубрёжки
Два вопроса — «меняется ли функция?» и «какой знак?» — заменяют таблицу из 32 формул.
- Тригонометрия, 10 класс
- ЕГЭ профиль №7 — вычисления
- ЕГЭ профиль №13 — преобразование уравнений
Формул приведения десятки, но все они получаются из одного правила, которое задаёт два вопроса.
- Меняется ли функция? Посмотрите на «опорный» угол. Если $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ (вертикальная ось) — функция меняется на «кофункцию»: синус ↔ косинус, тангенс ↔ котангенс. Если $\pi$ или $2\pi$ (горизонтальная ось) — не меняется. Запомнить помогает жест: вдоль вертикальной оси киваем «да», вдоль горизонтальной — мотаем головой «нет».
- Какой знак? Считайте $\alpha$ маленьким острым углом и определите четверть исходного угла. Знак — тот, который имеет исходная функция в этой четверти.
Пример 1.
Упростите $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$.
Решение. Опора $\frac{3\pi}{2}$ — функция меняется на синус. Угол $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ в III четверти, косинус там отрицателен. Итог: $-\sin\alpha$.
Ответ: $-\sin\alpha$.
Пример 2.
Найдите $\dfrac{\sin(\pi + \alpha)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}$.
Решение. $\sin(\pi + \alpha)$: опора $\pi$ — функция та же, III четверть — синус отрицателен: $-\sin\alpha$. $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$: меняется на синус, II четверть — косинус отрицателен: $-\sin\alpha$. Отношение равно 1.
Ответ: 1.
Большие углы сначала уменьшайте на целое число периодов: $\sin\frac{17\pi}{6} = \sin\left(2\pi + \frac{5\pi}{6}\right) = \sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
Проверь себя
- Упростите $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$.
Показать ответ
$\cos\alpha$ (II четверть, синус положителен).
- Упростите $\operatorname{tg}(\pi - \alpha)$.
Показать ответ
$-\operatorname{tg}\alpha$.
- Найдите $\dfrac{5\cos 290°}{\sin 20°}$.
Показать ответ
$\cos 290° = \cos(270° + 20°) = \sin 20°$ (IV четверть, косинус положителен). Ответ 5.