Модуль: раскрытие по определению
Как раскрыть модуль, разбив задачу на два случая, и не забыть проверить условие каждого случая.
- Отрицательные числа и модуль, 6 класс
- Уравнения с модулем, 7–9 класс
- ОГЭ №20, №22 (графики с модулем)
- ЕГЭ профиль №18 — параметры
Модуль снимается только одним надёжным способом — по определению. Всё остальное (возведение в квадрат, «на глаз») — частные случаи, в которых легко ошибиться.
$$|a| = \begin{cases} a, & a \ge 0, \\ -a, & a \lt 0. \end{cases}$$
Модуль неотрицательного выражения равен самому выражению, модуль отрицательного — выражению с противоположным знаком.
- Найдите, где выражение под модулем равно нулю.
- Разбейте числовую прямую на промежутки этой точкой (точками).
- На каждом промежутке раскройте модуль со своим знаком и решите уравнение.
- Оставьте только корни, которые лежат в «своём» промежутке.
Пример.
Решите уравнение $|x - 3| = 2x + 1$.
Решение. Ноль под модулем при $x = 3$.
Случай $x \ge 3$: $x - 3 = 2x + 1$, $x = -4$. Но $-4 \lt 3$ — корень не из этого промежутка, отбрасываем.
Случай $x \lt 3$: $3 - x = 2x + 1$, $x = \frac{2}{3}$. Подходит: $\frac{2}{3} \lt 3$.
Проверка: $\left|\frac{2}{3} - 3\right| = \frac{7}{3}$, $\ 2 \cdot \frac{2}{3} + 1 = \frac{7}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.
Быстрые случаи. $|f| = a$ при $a \gt 0$ — это $f = \pm a$. $|f| = -3$ — корней нет. $|f| = |g|$ — это $f = g$ или $f = -g$.
Проверь себя
- Решите уравнение $|2x - 5| = 3$.
Показать ответ
$2x - 5 = \pm 3$: $x = 4$ или $x = 1$.
- Упростите $|x - 7|$ при $x \lt 7$.
Показать ответ
$7 - x$.
- Решите уравнение $|x + 1| = 3x - 5$.
Показать ответ
При $x \ge -1$: $x + 1 = 3x - 5$, $x = 3$ — подходит. При $x \lt -1$: $-x - 1 = 3x - 5$, $x = 1$ — не подходит. Ответ 3.