Математика 11 класс · №2 Первообразная и интеграл
Задачи с ответами и разборами · 25 задач
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{0}^{2} (4x)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = 2x^{2}$.
$F(2) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
Ответ: 8.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{-2}^{-1} (-3x^{2} + 4x + 3)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = -x^{3} + 2x^{2} + 3x$.
$F(-1) - F(-2) = 0 - 10 = -10$.
Ответ: −10.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -3x^{2} + 12x$ и осью $x$.
Найдите точки пересечения с осью $x$ — это пределы интегрирования.
$-3x^{2} + 12x = 0$ при $x = 0$ и $x = 4$; между ними функция неотрицательна.
$S = \int_{0}^{4} (-3x^{2} + 12x)\,dx = 32$ (для параболы $k(x - p)(q - x)$ площадь равна $\frac{k(q - p)^3}{6}$).
Ответ: 32.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -x^{2} + 4x + 5$ и осью $x$.
Найдите точки пересечения с осью $x$ — это пределы интегрирования.
$-x^{2} + 4x + 5 = 0$ при $x = -1$ и $x = 5$; между ними функция неотрицательна.
$S = \int_{-1}^{5} (-x^{2} + 4x + 5)\,dx = 36$ (для параболы $k(x - p)(q - x)$ площадь равна $\frac{k(q - p)^3}{6}$).
Ответ: 36.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{1}^{3} (-6x^{2} + 6x - 3)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = -2x^{3} + 3x^{2} - 3x$.
$F(3) - F(1) = -36 - (-2) = -34$.
Ответ: −34.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{-1}^{3} (3x^{2} - 2x + 2)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = x^{3} - x^{2} + 2x$.
$F(3) - F(-1) = 24 - (-4) = 28$.
Ответ: 28.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -3x^{2} - 6x + 9$ и осью $x$.
Найдите точки пересечения с осью $x$ — это пределы интегрирования.
$-3x^{2} - 6x + 9 = 0$ при $x = -3$ и $x = 1$; между ними функция неотрицательна.
$S = \int_{-3}^{1} (-3x^{2} - 6x + 9)\,dx = 32$ (для параболы $k(x - p)(q - x)$ площадь равна $\frac{k(q - p)^3}{6}$).
Ответ: 32.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{1}^{3} (-3x^{2} + 4x - 1)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = -x^{3} + 2x^{2} - x$.
$F(3) - F(1) = -12 - 0 = -12$.
Ответ: −12.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -3x^{2} + 24x - 36$ и осью $x$.
Найдите точки пересечения с осью $x$ — это пределы интегрирования.
$-3x^{2} + 24x - 36 = 0$ при $x = 2$ и $x = 6$; между ними функция неотрицательна.
$S = \int_{2}^{6} (-3x^{2} + 24x - 36)\,dx = 32$ (для параболы $k(x - p)(q - x)$ площадь равна $\frac{k(q - p)^3}{6}$).
Ответ: 32.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{-1}^{2} (6x^{2} + 4x - 5)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = 2x^{3} + 2x^{2} - 5x$.
$F(2) - F(-1) = 14 - 5 = 9$.
Ответ: 9.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -3x^{2} - 6x$ и осью $x$.
Найдите точки пересечения с осью $x$ — это пределы интегрирования.
$-3x^{2} - 6x = 0$ при $x = -2$ и $x = 0$; между ними функция неотрицательна.
$S = \int_{-2}^{0} (-3x^{2} - 6x)\,dx = 4$ (для параболы $k(x - p)(q - x)$ площадь равна $\frac{k(q - p)^3}{6}$).
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -3x^{2} + 21x - 30$ и осью $x$.
Найдите точки пересечения с осью $x$ — это пределы интегрирования.
$-3x^{2} + 21x - 30 = 0$ при $x = 2$ и $x = 5$; между ними функция неотрицательна.
$S = \int_{2}^{5} (-3x^{2} + 21x - 30)\,dx = \frac{27}{2}$ (для параболы $k(x - p)(q - x)$ площадь равна $\frac{k(q - p)^3}{6}$).
Ответ: 13,5.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{1}^{2} (-6x^{2} + 2x + 2)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = -2x^{3} + x^{2} + 2x$.
$F(2) - F(1) = -8 - 1 = -9$.
Ответ: −9.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{-2}^{1} (-2x - 2)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = -x^{2} - 2x$.
$F(1) - F(-2) = -3 - 0 = -3$.
Ответ: −3.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -3x^{2} + 3$ и осью $x$.
Найдите точки пересечения с осью $x$ — это пределы интегрирования.
$-3x^{2} + 3 = 0$ при $x = -1$ и $x = 1$; между ними функция неотрицательна.
$S = \int_{-1}^{1} (-3x^{2} + 3)\,dx = 4$ (для параболы $k(x - p)(q - x)$ площадь равна $\frac{k(q - p)^3}{6}$).
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -2x^{2} + 10x - 8$ и осью $x$.
Найдите точки пересечения с осью $x$ — это пределы интегрирования.
$-2x^{2} + 10x - 8 = 0$ при $x = 1$ и $x = 4$; между ними функция неотрицательна.
$S = \int_{1}^{4} (-2x^{2} + 10x - 8)\,dx = 9$ (для параболы $k(x - p)(q - x)$ площадь равна $\frac{k(q - p)^3}{6}$).
Ответ: 9.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{0}^{1} (-3x^{2} - 4x + 2)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = -x^{3} - 2x^{2} + 2x$.
$F(1) - F(0) = -1 - 0 = -1$.
Ответ: −1.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{-2}^{-1} (6x^{2} + 4x + 4)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = 2x^{3} + 2x^{2} + 4x$.
$F(-1) - F(-2) = -4 - (-16) = 12$.
Ответ: 12.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{-2}^{0} (6x^{2} - 5)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = 2x^{3} - 5x$.
$F(0) - F(-2) = 0 - (-6) = 6$.
Ответ: 6.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{0}^{2} (3x^{2} - 5)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = x^{3} - 5x$.
$F(2) - F(0) = -2 - 0 = -2$.
Ответ: −2.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -2x^{2} - 2x + 4$ и осью $x$.
Найдите точки пересечения с осью $x$ — это пределы интегрирования.
$-2x^{2} - 2x + 4 = 0$ при $x = -2$ и $x = 1$; между ними функция неотрицательна.
$S = \int_{-2}^{1} (-2x^{2} - 2x + 4)\,dx = 9$ (для параболы $k(x - p)(q - x)$ площадь равна $\frac{k(q - p)^3}{6}$).
Ответ: 9.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -3x^{2} + 12x - 9$ и осью $x$.
Найдите точки пересечения с осью $x$ — это пределы интегрирования.
$-3x^{2} + 12x - 9 = 0$ при $x = 1$ и $x = 3$; между ними функция неотрицательна.
$S = \int_{1}^{3} (-3x^{2} + 12x - 9)\,dx = 4$ (для параболы $k(x - p)(q - x)$ площадь равна $\frac{k(q - p)^3}{6}$).
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{-1}^{3} (6x^{2} - 6x - 4)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 4x$.
$F(3) - F(-1) = 15 - (-1) = 16$.
Ответ: 16.
Разбор: Александр Владимирович
Вычислите интеграл $\displaystyle\int_{1}^{3} (6x^{2} - 6x - 3)\,dx$.
Формула Ньютона — Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Первообразная $F(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 3x$.
$F(3) - F(1) = 18 - (-4) = 22$.
Ответ: 22.
Разбор: Александр Владимирович
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -2x^{2} - 6x$ и осью $x$.
Найдите точки пересечения с осью $x$ — это пределы интегрирования.
$-2x^{2} - 6x = 0$ при $x = -3$ и $x = 0$; между ними функция неотрицательна.
$S = \int_{-3}^{0} (-2x^{2} - 6x)\,dx = 9$ (для параболы $k(x - p)(q - x)$ площадь равна $\frac{k(q - p)^3}{6}$).
Ответ: 9.
Разбор: Александр Владимирович